精品解析：内蒙古自治区赤峰第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点到准线的距离是
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.
2. 已知，且，则实数值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，所以，解得.
故选：C.
3. 直线，则“”是“”的（ ）条件
A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】若，则，可得或，
时，，即两直线平行，符合；
时，，即两直线重合，不符.
所以，即是的充要条件.
故选：C
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，
所以，，则，所以，
所以的周长为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了椭圆定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ）
A. 12B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或，
所以，所以，
所以.
当且仅当时取最小值.
故选：A.
6. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义知道，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值.
【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为，
如图：
过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以，所以，
当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，
所以.
故选：A.
7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案.
【详解】由，，而且，
则
，
显然，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
8. 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确是（ ）
A. 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.
B. 方程表示双曲线.
C. 到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线
D. 椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可判定A，根据双曲线方程可判定B，根据抛物线的定义可判定C，根据椭圆的离心率可判定D.
【详解】到两定点的距离差的绝对值等于正常数,且该常数小于两定点的距离的点的轨迹是双曲线，故A错误；
对于方程，若，则表示焦点在横轴的双曲线，
若，原式可化为，则表示焦点在纵轴的双曲线，故B正确；
根据抛物线的定义可知:该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，故C错误；
椭圆的离心率是焦距与长轴的比值，离心率越大说明焦距与长轴长越接近，则短轴长越短，此时椭圆越扁平，故D正确.
故选：BD
10. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为
B. 双曲线C的离心率为
C. 若，则三角形的周长为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项.
【详解】根据题意可知，所以，设，则，
将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出，
对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误；
对B，根据离心率，将代入可得，故B正确；
对C，根据，可知，则，
，故，
可求得，
所以三角形的周长为，故C正确；
对D，设与双曲线联立可得，若有解，
需要解之可求出或，故D正确.
故选：BCD
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（ ）
A. 的面积最大值为
B. 的最小值为
C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为
D. 椭圆上存在点，使得
【答案】BCD
【解析】
【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意.
【详解】由题意可知，，，，解得，
则，，,
当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误；
因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，
因，则
,
等号成立时，故B正确；
设过点的圆的方程为，
设，且，，，
则，，，
得，，
则过点的圆的方程为，圆心，
因为圆的直径，则关于点对称，则，
令，则，
因，则，
因，则点的轨迹方程为，C正确；
当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确.
故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程.
【详解】圆：和圆：，
两圆作差相减，得直线方程为，
经检验，直线方程满足题意.
故答案为：.
13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果.
【详解】设，且，
由得：，即，
为中点，，，，
直线方程为：，即；
由得：，
则，满足题意；
直线的方程为：.
故答案为：.
14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度.
【详解】由椭圆方程可知：，
圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径，
因为，可知四边形的面积，
当最小时，即为四边形的面积最小，
又因为，
可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小，
且点P是椭圆上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，
此时，由对称性可知：，
即，为等边三角形，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【小问1详解】
由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
【小问2详解】
因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，和
【解析】
【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程；
（2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可.
【小问1详解】
由在抛物线上，则，解得，
因此可得抛物线的方程为.
【小问2详解】
存在点在抛物线上，
设点，
由直线的斜率为，且过，
则直线的方程为：，即，
联立，可得，解得，或，
即可得点的纵坐标为，代入，得，即，
若，则，即，
又，
则可得，
整理得，，解得，或，或，或，
当时，与重合，舍去，
当时，与重合，舍去，
当时，，
当时，，
综上知，抛物线上存在点，为和时，.
17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为．
（1）求点A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可得三棱锥的体积为，由等体积法运算即可得解；
（2）由垂直关系可得平面，求相应长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
因为直三棱柱的体积为1，则三棱锥的体积为，
设点A到平面的距离为，则，
即，解得，
所以点A到平面的距离为.
【小问2详解】
过作，垂足为，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面，可得，，
又因为平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，
设，则，
由的面积可得，
即，解得，
即，，
又因为的面积为，解得，
以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得，
设平面的一个法向量，则，
令，则可得，
则，
设二面角为，则，可得
所以二面角的正弦值为.
18. 已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，．
（1）求的方程；
（2）直线与直线的交点分别为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据与轴垂直时得，结合得到，由此可得双曲线的标准方程；
（2）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值即可．
【小问1详解】
对双曲线，令，得，
∴当与轴垂直时，．
由得，即，故，
∵，∴，∴的方程为．
【小问2详解】
①不合题意．
②设，
联立得，，
∴，
，解得，
∵，∴直线方程为，
故，同理，
∴
．
∴当时，．
19. 已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、.
（1）若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程；
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
（3）已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可；
（3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解.
【小问1详解】
因为极点对应的极线l为，即，所以，
因为右焦点是，所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
【小问2详解】
当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点，
可得，化简可得：
，
由题可得：
化简可得：，该方程只有一个根，记作，
，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，
由于，则，
则切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上上一点,的切线方程为；
同理上一点,切线方程为；
设，点在两个切线上，所以，
所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线；
【小问3详解】
由题意，设点的坐标为(,)，
因为点在直线上运动，所以，
联立，得，
，该方程无实数根，
所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切，
所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，所以存在定点恒在直线上.
当时，T是线段的中点，
设，直线的斜率为，
则，两式相减，
整理得，即，
所以当时，直线的方程为，即.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题.