精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共40分，每题5分
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合和集合，然后根据集合交集的运算求解.
【详解】因为集合，由，得，所以.
因为集合，由，得，所以，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C.
3. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数式求函数值即可.
【详解】由.
故选：B.
4. 下列函数中，在定义域上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对选项A，利用复合函数的单调性即可判断A错误，对选项B，根据指数函数的单调性即可判断B错误，对选项C，根据复合函数的单调性即可判断C正确，对选项D，利用二次函数的单调性即可判断D错误.
【详解】对选项A，，定义域，
令，则在为减函数，为增函数，
所以在为减函数，故A错误；
对选项B，在R上为减函数，故B错误.
对选项C，，定义域为，
令，则在为增函数，为增函数，
所以在为增函数，故C正确；
对选项D，定义域为R，对称轴为，
在为减函数，在为增函数，故D错误.
故选：C
5. “”是“且”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【分析】令，，，则满足，但“且”不成立，
则“”不是“且”的充分条件；
由且，得，因此“”是“且”的必要条件，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故选：A
6. 设为奇函数，且当时，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数的性质得，再代入计算即可.
【详解】由时，，得,
又为奇函数，.
故选：D.
7. 从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（ ）
A. 60B. 80C. 100D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出函数关系，即可利用二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得总耗油量为,
由于为开口向上的二次函数，对称轴为
故速度为80时，总耗油量最小，
故选：B
8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案.
【详解】由题意得，即，两边取对数得
，故，
故的最小值为15.
故选：B
二、多选题：本题共18分，每题共6分
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 与是同一个函数
C. 方程解集为
D. 已知函数若，则的取值有2个
【答案】AD
【解析】
【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，利用对数函数的性质求解即可判断C，根据分段函数，解方程可判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，由，得：，解得：或，当时，真数小于0，舍去，故原方程的解集为，故C错误；
对于D，令，当时，由，解得，当时，由，解得，即方程有两解，故D正确.
故选：AD
10. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用“乘1”法结合基本不等式即可判断；对于B，根据题设利用基本不等式即可判断；对于C，取平方后利用计算即可判断；对于D，利用对数运算性质，结合即可判断.
【详解】对于A，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故A正确；
对于B，由，可得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B错误；
对于C，，由B选项的分析可知，故，
即，故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
对于D，由，可得，则，
故当且仅当时，的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ）
A. 为奇函数B. 在单调递增
C. D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可.
【详解】对于A，由题，，于是，令，则，
即，所以为奇函数，A正确；
对于B，设，则有，即，
即有，所以在上单调递增，
由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，
又为奇函数，则，C错误；
对于D，由题意得，，
则等价于，
则有，即，D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解.
三、填空题：本题共15分.
12. 设定义域为R的函数，则关于x的函数零点的个数为______.
【答案】5
【解析】
【分析】令解得或，作出的简图，由数形结合判断即可.
【详解】令，得或.
作出的简图，

由图象得当或时，分别有3个和2个交点，
故关于的函数的零点的个数为5.
故答案为：5.
13. 已知幂函数的定义域是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.
【详解】因为函数为幂函数，则，即，
解得或，
当时，函数的定义域为，合乎题意；
当时，函数的定义域为，舍去.
综上所述，.
故答案为:
14. 已知函数，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可.
【详解】令，则，原不等式化为，
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
①，
当时，，解得；当时，，无解，
因此，
②，
当时，，解得；当时，，解得，
因此或，
所以a的取值范围是：.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键.
四、解答题：本题共77分.
15. （1）已知，求值．
（2）已知角终边上一点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用商数关系，化弦为切即可得；
（2）由三角函数定义、诱导公式即可求解。
【详解】（1）由，
故；
（2）由角终边上一点，得，
故
16. 冕宁灵山寺是国家级旅游景区，也是凉山州旅游人气最旺的景区之一．灵山寺有“天下第一灵”、“川南第一山”、“攀西第一寺”之美誉，常年香火鼎盛．每年到灵山寺旅游的游客人数增长得越来越快，经统计发现，灵山寺2021年至2023年的游客人数如下表所示：
根据上述数据，灵山寺的年游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2020年的年份代码为，2021年的年份代码为，依此类推）有两个函数模型可供选择：①，②
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该函数模型的函数解析式；
（2）问大约在哪一年，灵山寺的年游客量约是2021年游客量的3倍？（参考数据：）
【答案】（1）函数模型①更合适；
（2）大约在2024年，灵山寺的年游客量约是2021年的3倍
【解析】
【分析】（1）根据增长速度越来越快，符合指数增长模型，得到函数模型①，将代入，求得的值，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合对数的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
因为2020年至2021年游客人数增加了6万人，2021年至2022年游客人数增加了9万人，增长速度越来越快，符合指数增长模型，
故函数模型①更合适，
将代入，可得，解得，
所以函数解析式为.
小问2详解】
2021年的年游客量约为18万人，当灵山寺的游客量约是2021年的3倍时，约是54万人，则，所以，
所以，
故大约在2024年，灵山寺的年游客量约是2021年的3倍．
17. 俄国数学家切比雪夫（）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”.
（1）函数，求的“偏差”；
（2）函数，若的“偏差”为，求的值.
【答案】（1）8 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意得，进而结合二次函数的性质求最值即可得答案；
（2）令，进而根据函数单调性与函数值的符号得到，再根据“偏差”函数的概念解即可.
【小问1详解】
解：，
因为，，
所以，即，
所以函数与的“偏差”为8.
【小问2详解】
解：令，
∵，均为上的单调递减函数，
∴是上的单调减函数，
令得，，
又，，
所以
所以，即的“偏差”为，
因为的“偏差”为，
所以，解得
所以，当的“偏差”为，.
18. 已知函数.记：使函数的定义域为的实数a的所有取值的集合为A，使函数的值域为的实数a的所有取值的集合为B，使函数在上单调递增的实数a的所有取值的集合为M，求.
【答案】
【解析】
【分析】若函数的定义域为，可得对于恒成立，进而求出，若函数的值域为，可得函数的值域包含，进而求出，若函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，且对于恒成立，进而求出，再根据并集、补集、交集的定义求解即可.
【详解】若函数的定义域为，
则对于恒成立，
当时，不等式为不恒成立；
当时，由，解得.
综上所述，.
若函数的值域为，则函数的值域包含，
当时，函数的值域为，包含；
当时，由，解得.
综上所述，.
若函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，且对于恒成立，
当时，函数上单调递减，不符合题意；
当时，由，解得.
综上所述，.
而，，
则.
19. 已知定义在上的函数满足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，求解即可；
（2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；
（3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可.
【小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在上单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时，等号成立
所以，
故实数的取值范围是
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数的取值范围是
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
年份
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
年游客人数y（单位：万人）
12
18
27