山西省2025-2026高一选科调研检测（三重教育）-数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简两个集合，再根据交集的概念运算.
【详解】，，
所以．
故选：C．
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求解不等式，进而根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的概念及指数幂的运算求解判断即可.
【详解】因为，所以．
故选：A．
4. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得.
【详解】因为与都是增函数，所以为增函数，
又，，
所以的零点所在的区间为．
故选：B．
5. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将不等式变形为，根据指数函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】由题意，可将转化为，即，
又指数函数是增函数，所以，即，解得．
故原不等式的解集为.
故选：D．
6. 若幂函数（为常数）的图象经过点，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义确定的值，再将已知点代入幂函数求出得到函数表达式，最后将不等式转化为分式不等式并等价求解，得到的范围。
【详解】因为是幂函数，所以，则，
所以，将点代入，得，解得，
则，则，即，即，解得．
故选：A
7. 已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作出函数的大致图象，再由函数零点个数，转化为函数与函数图象有2个不同的交点，利用数形结合即可求解．
【详解】作出函数的大致图象，
因为函数有2个零点，
所以方程有2个不同的根，
即方程有2个不同的根，
所以方程有2个不同的根，
所以函数与函数图象有2个不同的交点，
结合图象可得，或，所以或．
故选：B．
8. 已知定义在区间上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用奇函数的性质得到、，结合奇函数在对称区间单调性一致，确定在上单调递减；再将不等式转化为，结合函数定义域与单调性列出关于的不等式组，求解得到的范围.
【详解】因为为定义在上的奇函数，
所以，且的图象关于原点对称，
因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，
则在上单调递减，因为，所以，
所以，所以，所以，所以．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数下列选项正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，结合对数运算依次计算作答.
【详解】对于A，故错误；
对于B，当时，，即，解得；
当时，，解得，则或，故B错误；
对于C，故C正确；
对于D，故D正确．
故选：CD．
10. 如果，那么下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数单调性比较大小，其中C选项，不能确定与1的大小关系，故无法判断与0的大小关系.
【详解】A选项，因为，所以，又指数函数在上是增函数，
所以，故A错误；
B选项，因为对数函数在上是减函数，且，
所以，故B正确；
C选项，因为，所以，但不能确定与1的大小关系，
所以不能确定与的大小关系，即不能确定与0的大小关系，故C错误；
D选项，因为幂函数在区间上单调递减，，所以，故D正确．
故选：BD．
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A求函数值即可；B化简即可；C先求出的值域，再根据不等式的性质求；D根据B选项以及函数的单调性求解.
【详解】因为，故A正确；
由于，所以，故B错误；
因为的值域是，所以的值域是，故C正确；
由选项B分析可知，不等式等价于，
又在上是增函数，所以是上的减函数，
所以，解得，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得
【详解】令，则，故的图象过定点，
故，．
故答案为：3．
13. 已知函数，若，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题目条件代入得到，再代入计算求值.
【详解】根据题目条件化简可得：，
，则，即，
．
故答案为：4
14. 若实数满足，且，则当取得最小值时，实数的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】从式子中解出，将代入，计算得到，
将进行整理，得到，利用基本不等式求解.
【详解】由，得，由，可得，
所以，所以，
又，
因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，
由，可得，化简得，解得（舍负）．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的零点为12，设其定义域为集合．
（1）若函数的定义域为集合，且全集．求，
（2）若设，用来表示．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】首先根据函数的零点求出的值，进而得到集合,再根据函数的定义域求出集合，最后进行集合运算即可.
根据对数的运算法则对，进行化简，然后用和表示.
【小问1详解】
，所以的定义域为
因为的零点为12，所以，即，得，
由可得，
所以函数的定义域为.
故，
.
【小问2详解】
.
.
16. 已知不等式的解集为，其中，为常数．
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合二次不等式性质与根与系数的关系可得，，再利用二次函数性质即可得；
（2）将分式不等式转化为整式不等式计算即可得；
（3）结合指数与对数运算法则计算即可得.
【小问1详解】
由题意可得，且，为方程的两根，
由根与系数的关系可得，解得，
故，
因为，所以，，
所以函数在上的值域为；
【小问2详解】
不等式，即，所以，
解得，所以所求不等式的解集为；
【小问3详解】
原式
.
17. 已知对数函数，若函数在区间上的最大值为3．
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）若两个不相等的正数满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先根据对数函数的单调性求出的值，再利用对数函数性质解方程.
（2）根据对数函数的单调性解不等式，同时考虑定义域.
（3）根据绝对值相等，得到与的关系，再利用基本不等式求最小值.
【小问1详解】
因为，所以函数在上单调递减，
又上，所以当时，函数取得最大值，所以，
所以，解得，则.
由，得，
所以，化简得，解得，
故所求方程的解为.
【小问2详解】
因为在上单调递减，且，
即，所以，
化简得，解得，故所求不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，且，所以，
即，所以，
故，则.
因为，所以，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为.
18. 已知函数，函数．
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的值域；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）令，则，进而转化为解得，再解对应不等式得解集；
（2）根据对数运算得，再结合二次函数性质求值域即可；
（3）由题知 恒成立，进而求得将问题转化为，再解对应不等式即可.
【小问1详解】
解：，
令，则，得，
由，可得，即，
解得，
又，所以，故，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由，化简可得
．
，
因为，所以，
即的值域为.
【小问3详解】
解：因为不等式对任意实数恒成立，
所以．
令，因为，所以，
设，
结合二次函数性质可得，即，则.
所以，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．.
19. 若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”．特别地，当时，称为的“特别区间”．
（1）若为函数的特别区间，求实数的值；
（2）设实数，若函数在上存在特别区间，求实数的取值范围；
（3）函数是否存在“倍区间”，若存在，请写出符合“倍区间”条件的定义域，若不符合，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，且“倍区间”为
【解析】
【分析】（1）分析可知函数在上的值域为，分析该函数在区间上的单调性，可得出，结合可得出的值；
（2）分析可知，整理可知、满足方程，即方程有两个不同的正实数根，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）解法一：分析可知方程有两个不同的实数根、，求出这个方程的两根，即可得出结论；
解法二：分析可知、为函数的图象与函数图象交点的横坐标，数形结合可得出、的值，即可得出结论.
【小问1详解】
因为为函数的特别区间，所以函数的定义域和值域都是，
因为在区间上为增函数，
当时，，
，即，
又因为，故.
【小问2详解】
若函数存在特别区间，且，则函数在上的值域为，
因为在上为增函数，故，
所以，即、满足方程，
所以方程有两个不同的正实数根，所以，解得，
故实数的取值范围为.
【小问3详解】
解法一：假设函数存在“倍区间”，
则函数在区间上的值域是，
因为函数是增函数，所以，
所以方程有两个不同的实数根、，易得方程两根分别为和，
所以函数是存在“倍区间””，此时定义域为.
解法二：假设函数存在“倍区间”，
则函数在区间上的值域是，
因为函数是增函数，所以，
所以、为函数的图象与函数图象交点的横坐标，

在同一直角坐标系中画出它们的图象如图所示，
可知，函数和的图象有两个交点为、．
当时，函数的图象位于的图象之上，；
当时，函数的图象位于的图象之下，；
当时，函数的图象位于的图象之上，．
综上，方程有两个不同的实数根和，即，．
所以函数是存在“倍区间”，此时定义域为．