江苏省无锡市重点高中2025-2026学年高一上学期12月学情调研考试 数学试卷（含答案）

这是一份江苏省无锡市重点高中2025-2026学年高一上学期12月学情调研考试 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ）
A．1B．C．D．
6．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（ ）
A．B．C．D．2
8．已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．若为锐角，则为钝角
C．若，则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则
D．若方程有两个不同的实数解，则
11．已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为6B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题
12．若函数是奇函数，且，则 ．
13．a、b为正实数，若，，则的最小值为 ．
14．已知函数，，则的值域是 ；若且对任意，总存在，使得，则m的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知集合，．
(1)求，；
(2)记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围．
16．已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）
条件①：，是关于x的方程的两个实根；
条件②：为角终边上一点，且；
条件③：且.
(1)求的值；
(2)求的值．
17．已知函数（a为常数）．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
18．设．
(1)当时，若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)当时，若值域为，求m的取值范围；
(3)当时，给出命题p：存在使，以及命题q：任意使．若p为真命题且q为假命题，求a的取值范围．
19．已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
(1)请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
(2)设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
(3)在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
1．C
求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】由得，解得，即，
，所以.
故选：C.
2．C
根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解.
【详解】当在上单调递减，
设任意，且，
则，
又，所以可得，
故“”是“在上单调递减”的充要条件，
故选：C
3．D
利用指数函数和对数函数的单调性比较大小.
【详解】，即，，
所以.
故选：D
4．A
先求出，再由三角函数定义得到答案.
【详解】当时，，故过定点，
由三角函数定义可得：，.
故选：A
5．D
利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果.
【详解】根据题意可设半径长，
可得，
由同角三角函数值之间的基本关系可得，
解得；
即可得,；
所以.
故选：D
6．D
【解析】根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
7．B
【详解】设图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转，
如图，设为旋转后的点，过作于，过作于，
则易知，得到，
所以点，依题有，得到，所以，

故选：B.
8．D
【详解】因为对任意的，都有，，且，
所以，且，
设任意，则，则，
又，所以，
若，则当时，，则，矛盾，
所以，所以，所以函数是单调递减函数，
所以不等式等价于，所以，
故即，解得.
所以不等式的解集是.
故选：D
9．ACD
【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确；
对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误；
对于：若，则，故正确；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得，
故该扇形的面积为，故正确．
故选：．
10．ACD
根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D.
【详解】对于A，因为，
所以函数定义域为R，且，
故函数是奇函数，故A正确；
对于B，因为为增函数，所以为减函数，
所以若，则，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为减函数，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，
依次作出函数、和的图象如图所示：

因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【详解】对于选项A，因为，且，
所以，当且仅当时取等号，
令，得到，解得或（舍），
所以，的最小值为9，故A错误；
对于B，由，则，
，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，，
则，
令，则，
，
，当且仅当，即时取等，
则，
，
当且仅当时取等，故C正确；
对于D，因为，当且仅当取等号，
又，当且仅当,时取等号，
又，所以，故D错误．
故选：BC．
12．
由已知得，代入已知即可求得.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
所以，所以，
又，所以，
故答案为：.
13．2
由指数相等可设公共值为，利用对数定义将转化为，其和为；由方程解出并用表示，得到关于的函数表达式；通过换元结合基本不等式求出的最小值；最后由及的取值范围，根据对数函数单调性确定当最大且最小时取最小值.
【详解】设,则，由题得：故，
记，则，
由方程得
令，则于是
令，
设，则，
由基本不等式可得：当且仅当即时取等，
此时因此③，
由①③得，
又，为让最小，应取最小()且最大()，即
综上，的最小值为，仅当，，且时等号成立.
故答案为：2
14． ； .
对①，由复合函数单调性求解；对②将问题转化为的取值范围是值域的子集求解.
【详解】对于①：，
因为由与复合而成，
又在单调递减，在单调递增，
所以在上单调递减，因为，
所以的值域为；
对于②：由①知，所以，
因为与在单调递增，所以在单调递增，
因为，所以，
由已知，所以，解得，
即的取值范围是.
故答案为：，
15．(1)或，；
(2).
（1）化简集合，根据交、并、补集的概念计算；
（2）解不等式得到，由求的取值范围.
【详解】（1）因为或，
所以或，，；
（2）由得，解得，
即，
由得，所以，解得，
即实数的取值范围为.
16．(1)；
(2).
首先根据角的范围判断，的符号，选条件①时根据韦达定理可列方程组求得，的值，利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，进而求解；
选条件②时根据三角函数的定义列方程求得的值，进而可求解，的值，从而求解；
选条件③时根据已知条件及同角三角函数的基本关系式可列方程组求得，的值，进而求解.
【详解】（1）因为是第二象限角，所以，.
选条件①：因为，是关于x的方程的两个实根，
所以，解得.
所以，所以.
选条件②：因为为角终边上一点，且，
所以，且，解得，
所以，所以，
所以，所以.
选条件③：因为，解得或，
又，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以.
17．(1)
(2)
（1）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围．
【详解】（1）令，因为外层函数在定义域上为增函数，
且函数在上单调递增，
则内层函数在上为增函数，且，
即，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2）对于任意，存在，使得不等式成立，
则对任意的恒成立，
因为，
当时，，故当时，即当时，函数取最小值，
即，
所以，对任意的恒成立，
由可得，参变量分离得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时等号成立，则，
因此，实数的取值范围是．
18．(1)
(2)
(3)
（1）对不等式进行变形化简，然后根据二次函数的性质求解即可 ，注意考虑的情况.
（2）要使值域为，只需的值域覆盖所有正数，进而建立不等式，求解参数范围即可.
（3）根据命题的真假和二次函数的性质求出答案即可.
【详解】（1）当时，不等式在上恒成立，
当时，，符合题意；
当时，要使不等式恒成立，则，
解得，所以的取值范围是.
（2）当时，的值域为，令，
所以要使的值域为，则的值域必须覆盖区间，
当时，，值域不为，不符合题意；
当时，可得，
令，则对称轴为且过定点，
所以只需要二次函数开口向上，且最小值小于等于0，确保能覆盖所有正数，
即，，解得，所以的取值范围是.
（3）当时，，最小值为，令，
则，且.
命题：任意使为假，即使得为真，
即存在，，开口向上，判别式，则，
此时根为，
要满足题意，需的取值范围与有交集，
即，化简得，解得；
命题：使得为真，因可趋向，
故必存在大于0的值，所以恒真.
综上，的取值范围为.
19．(1)唯一交换，理由见解析
(2)
(3)
（1）根据方程解的情况判断即可；
（2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值；
（3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值.
【详解】（1）与关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，
所以与关于是唯一交换.
（2）由题意可知，对任意的，成立，
即对任意的，；
因为为函数，且，故，
故，
即，
所以，
综上所述，.
（3）当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得；
令，且定义域均为，
又，，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.