山东省德州市夏津第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份山东省德州市夏津第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了 是， 已知函数， 已知幂函数， 已知等内容，欢迎下载使用。
1. 是（）
A. 第⼀象限⻆B. 第⼆象限⻆C. 第三象限⻆D. 第四象限⻆
已知，下列图形能表示以 A 为定义域，B 为值域的函数的是（）
AB.C.D.
若⻆ 始边与轴的⾮负半轴重合，终边经过点，则（）
B. C. D.
下列四个命题，其中为真命题的是（）
若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数
和表示同⼀函数
函数的单调增区间为
若函数的值域是，则实数或
已知函数，记，，，则（）
B. C. D.
已知幂函数是 上的偶函数，且函数在区间上
单调递减，则实数 a 的取值范围是（）
B. C. D.
设，则“ ” 是“ ”（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
从盛有纯酒精的容器中倒出，然后⽤⽔填满；再倒出，⼜⽤⽔填满……连续进⾏次后，容器中纯酒精剩下不到，则⾄少是（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
⼆、多选题（每题 6 分，共 3 个题 18 分）
下列结论正确的有（）
当时，
终边落在直线上的⻆的集合是
已知点在第四象限，则⻆终边在第⼆象限
下列结论正确的是（）
函数的定义域为
若⻆的终边过点，则
函数图象关于原点对称
若圆⼼⻆为的扇形的弧⻓为，则该扇形⾯积为
已知，，则下列关系中正确的是（）
B.
C. 若，则的最⼩值为D. 若，则
三、填空题（每题 5 分，共 3 个题 15 分）
已知（且），则的取值范围是.
若集合有且只有两个元素，则实数 a 的取值范围是.
若函数在上为减函数，则 a 取值范围是.
四、解答题（共 77 分）
计算以下各题
（1）；
（2）
（3）
已知函数的定义域为.
求实数取值集合；
设为⾮空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
已知函数，．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
求使得不等式成⽴的的取值范围．
已知幂函数在上单调递增.
求的值；
求关于的不等式的解集.
已知是定义在上的奇函数，．
求函数在上的解析式；
若，都有成⽴，求实数的取值范围．
2025-2026 学年上学期夏津⼀中⾼⼀年级 12 ⽉份⽉考
数学试题
⼀、单选题（每题 5 分，共 8 个题 40 分）
1. 是（）
A. 第⼀象限⻆B. 第⼆象限⻆C. 第三象限⻆D. 第四象限⻆
【答案】C
【解析】
【分析】根据所在区域及象限⻆的定义判断得解.
【详解】显然，所以是第三象限⻆.故选：C.
已知，下列图形能表示以 A 为定义域，B 为值域的函数的是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论.
【详解】对于A，函数的值域为，不符合题意；对于B，函数值域为，不符合题意；
对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意；
对于D，⼀个⾃变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．故选：C．
若⻆的始边与轴的⾮负半轴重合，终边经过点，则（）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利⽤任意⻆的三⻆函数的定义，求出的值，可得的值．
【详解】因为⻆的终边经过点，，，，所以，
则.
故选：C.
下列四个命题，其中为真命题的是（）
若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数
和表示同⼀函数
函数的单调增区间为
若函数的值域是，则实数或
【答案】D
【解析】
【分析】对A，取进⾏说明，即判断正误；对B，利⽤相同函数的判断⽅法，即可求解；对C，直接求出的增区间，即可判断正误；对D，利⽤⼆次函数的性质，结合条件得
.
【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数，但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A 错误，
对于B，因为的值域为，的值域为，所以和不表示
同⼀函数，故B 错误，
对于C，因为，
象开⼝向上，
则，解得或，所以D 正确，
【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运⽤对数的运算，将三个⾃变量化简到 内，最后利⽤单调性、奇偶性⽐较⼤⼩.
，
因为，所以，
当
时，
，对称轴为
，图象开⼝向上，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，
，对称轴为
，图象开⼝向上，在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
的单调增区间为
，，故C 错误，
对于D，函数
的值域是
，⼜
的对称轴为
，图
故选：D.
5. 已知函数
，记
，
，
，则（）
A.
【答案】C
B.
C.
D.
【解析】
【详解】因为函数
，定义域为
，⽽且
所以
为偶函数，
因为
时，
在
上单调递增；
【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利⽤⼆次函数的单调性即可确定参数 a 的取值范围.
【详解】因幂函数是上的偶函数，则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．
故，则，其对称轴⽅程为，因为在区间上单调递减，则，解得．
故选: C.
设，则“ ” 是“ ” 的（）
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质判断必要性.
【详解】当时，⽆意义，故不满⾜充分性；当时，，满⾜必要性，
所以“” 是“” 的必要不充分条件.
所以
，所以
.
故选：C.
6. 已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间上
单调递减，则实数 a 的取值范围是（
）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
故选：B
从盛有纯酒精的容器中倒出，然后⽤⽔填满；再倒出，⼜⽤⽔填满……连续进⾏次后，容
，
连续进⾏次后，第次倒出，剩下纯酒精为，令，，故⾄少是 4.
故选：A
⼆、多选题（每题 6 分，共 3 个题 18 分）
下列结论正确的有（）
A
B. 当时，
C. 终边落在直线上⻆的集合是
D. 已知点在第四象限，则⻆终边在第⼆象限
【答案】BD
【解析】
【分析】利⽤三⻆函数的性质和定义、三⻆函数线、象限⻆的符号规律及终边相同⻆的集合分析判断各选项.
器中纯酒精剩下不到 ，则⾄少是（
）
A. 4B. 5
【答案】A
C. 6
D. 7
【解析】
【分析】根据已知分析第次倒出
，剩下纯酒精为
，再列不等式，结合指数函数的性质求参数
值.
【详解】由题意，第⼀次倒出，剩下纯酒精为
，
加满⽔后含酒精，第⼆次倒出，剩下纯酒精
，
加满⽔后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为
，
A，
【详解】对于，
，，，故A 错误；对于B，在单位圆中，当，由三⻆函数线可知,
则有
，
，
，
，
，，，，设扇形的⾯积为，设的⾯积为，
，
，故B 正确；
对于C，终边落在射线上的⻆的集合为，
终边落在射线上的⻆的集合为
，
终边落在直线上的⻆的集合为，故C 错误；对于D，点在第四象限，
，，则⻆终边在第⼆象限，故D 正确.
故选：BD.
下列结论正确的是（）
函数的定义域为
若⻆的终边过点，则
函数的图象关于原点对称
若圆⼼⻆为的扇形的弧⻓为，则该扇形⾯积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，根据三⻆函数定义求解判断；对C，根据函数奇偶性定义求解判断；对D，根据扇形的弧⻓和⾯积公式求解.
【详解】对于A，由题可得，解得，故函数的定义域为，故A 错误；
对于B，因为⻆的终边经过点，所以，故B 正确；对于C，由，解得，
⼜，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故C 正确；对于D，设扇形的半径为，则，解得，所以扇形的⾯积，故D 正确.
故选：BCD.
已知，，则下列关系中正确的是（）
B.
C. 若，则的最⼩值为D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对式⼦变形，然后逐⼀判断是否具备“⼀正⼆定三相等”的条件，求最值；
【详解】因为，，所以，所以，所以
，故A 正确；
因为和不⼀定是正实数，故不可⽤基本不等式，从⽽不⼀定正确，故B
错误；
若，则
，故C 正确；
因为，所以，所以，当且仅当
时等号成⽴，故D 正确.故选：ACD.
【点睛】在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式
，要弄清它们的作⽤、使⽤条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b
的转化关系．
三、填空题（每题 5 分，共 3 个题 15 分）
【详解】因为，所以，当时，，所以，
12. 已知
（
且
），则的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】把
变形为
，然后对和讨论，得出结果
当时，，所以，所以的取值范围是，
故答案为：
13. 若集合有且只有两个元素，则实数 a 的取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】先将不等式左边分解因式，然后根据零点⼤⼩关系分类讨论.
【详解】因为，
的不等式组并解之即可.
【详解】令，且 ，，
因为函数在上是减函数且在上是减函数，所以是增函数且恒成⽴，
当
当当
时，
时，时，
；
，正整数解不可能有两个；
，要满⾜有两个正整数解﹐则
.
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
14. 若函数
在
上为减函数，则 a 取值范围是.
【答案】
【解析】
【分析】令
，
且
，，由是增函数且恒成⽴，列出关于
即，解之得的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共 77 分）
计算以下各题
（1）；
（2）
【答案】（1）84（2）0
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算法则及性质求解；
根据对数的运算法则及性质计算得解；
根据特殊⻆的三⻆函数值计算即可.
【⼩问 1 详解】
.
【⼩问 2 详解】
．
【⼩问 3 详解】
.
已知函数的定义域为.
求实数 的取值集合；
设为⾮空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，在上恒成⽴，再对参数进⾏分类讨论，根据⼆次函数的性质，即可求出结果；
（2）由命题的关系与集合间的包含关系得：是的必要不充分条件，所以，由此列出关系式，即可求出结果.
综上所述，.所以集合
（2）因为，是的必要不充分条件.所以，故,解得
所以，实数的取值范围是.
已知函数，．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
求使得不等式成⽴的的取值范围．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由⻅解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的概念求定义域即可.
根据奇函数的定义进⾏判断即可.
【详解】（1）可知，
在上恒成⽴，
当
当
时，
时，
，成⽴；
，解得
；
根据对数函数的性质求不等式的解集即可.
【⼩问 1 详解】
因为函数，
所以.
要使得其有意义，则，解得.
求的值；
求关于的不等式的解集.
【答案】（1）3（2）答案⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题；
（2）根据⼀元⼆次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解.
所以函数
的定义域为
.
【⼩问 2 详解】
因为函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以
所以函数为奇函数.
【⼩问 3 详解】
因为，所以
，
所以，化简得，解得
.
所以不等式解集为.
18. 已知幂函数
在
上单调递增.

求函数在上的解析式；
若，都有成⽴，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质解得，并结合奇函数的定义检验；
【⼩问 1 详解】
因为函数所以
当时，
，解得
，在
为幂函数，或.
上单调递增，符合题意；
当时，
，在
上单调递减，不符合题意；
所以.
【⼩问 2 详解】
由（1）知
，由
，
得
.
当
，即
时，不等式⽆解；
当
，即
时，不等式解为
；
当
，即
时，不等式解为
.
综上可得， 当
时，不等式
解集为；
当
时，不等式
解集为
；
当
19.
已知
时，不等式
是定义在
上的奇函数，
解集为
.
．
可得，
且，
即符合题意，所以.
【⼩问 2 详解】
由（1）可知：，则，
若，即，
可得，所以实数的取值范围为.（2）根据题意分析可得，换元令
，构造
，结合函数单调性求最⼩值即可得
结果.
【⼩问 1 详解】
因为是定义在 上的奇函数，则
，解得
，
即
；
因为则
，
在
，可得
内单调递减，可知
，即
在
内单调递减，
，
令
，则
，
构造
，可知
在
内单调递减，则
，