重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（含详解）含答案解析

这是一份重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（含详解）含答案解析，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 (选择题 共 58 分)
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选 项中, 只有一项是符合题目要求的．）
1．（原创）已知直线过 A1,2,B1,-1 两点,则直线的倾斜角的大小为（ ）
A．π6 B．π3 C．π2 D．3π4
2．（原创）已知方程 x22m-3+y24-m=1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．32,73 B．73,4C．32,4 D．32,73∪73,4
3．（原创）在等差数列 an 中， a5+a9=12 ， a6=4 ，则 an 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（原创）若点 P1,22 在圆 C:x2+y2+2x-22y+a=0 外,则 a 的取值范围（ ）
A．3,+∞ B．-∞,3 C．-3,+∞ D．-3,3
5．（改编）已知圆 C1:x2+y2-4=0 与圆 C2:x2+y2+ax-2y-3=0a∈R 的公共弦所在的直线与直线 l:2x-ay+1=0 平行，则两平行线间的距离为（ ）
A．24 B．12 C．22 D．2
6．（改编）如图，已知 A,B,C 是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点 P 为平面 ABC 外一点,且 ==120∘,AP=4 ,若 AO=AB+AC , 则 OP=（ ）
A．42 B．3C．6 D．7
7．（原创）点 P-1,2 到直线 l:1+2λx+1+λy-1-3λ=0λ∈R 的距离的最大值为（ ）
A．10 B．2 C．32 D．5
8．（改编）已知过抛物线 C:y2=12x 的焦点 F 的动直线交抛物线 C 于 A,B 两点，Q 为线段 AB 的中点，P 为抛物线 O上任意一点，则 PF+PQ 的最小值为（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选错的得 0 分, 若只有 2 个正确选项, 每 题选对一个得 3 分，若只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分．）
9．（原创） 下列有关双曲线 x29-y216=1 的命题中，叙述正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3
C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6
10．（原创）下列说法正确的为（ ）
A．O 为空间任意一点,若 AP=-14OA+18OB+tOC ,若 A,B,C,P 四点共面,则实数 t 等于 18
B．若 a,b,c 为空间的一个基底,则 a+2b,a+b,a-b 能构成基底
C．向量 a=3,0,2 ，向量 b=12,0,32 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量的坐标为 334,0,94
D．圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2:x2+y2-8x-6y+16=0 的公切线有 3 条
11．（改编）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案， 如图1, 把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合, 这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为 1，则下列结论正确的是（ ）
A．CQ+AB=-AD+2AA1
B．点 C1 到直线 CQ 的距离是 53
C．直线 CQ 与平面 BC1D 的夹角正弦值为 539
D．异面直线 CQ 与 BD 所成角的正切值为 17
第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．（原创）抛物线 y=4x2 的准线方程为___________．
13．（原创）已知 an 的通项公式为 an=-3n2+λnλϵR ，若数列 an 为递减数列，则实数λ的取值范围是___________．
14．（改编）已知 F1,F2 是椭圆与双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点，且PF1>PF2 ,线段 PF1 的中垂线过 F2 ,记椭圆的离心率为 e1 ,双曲线的离心率为 e2 ,则 1e1+1e2 的取值范围是___________．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．）
15．（原创）（本小题 13 分）
数列 an 满足 a1=5,an=6-9an-1n∈N*,n≥2 ．
（1）求证:数列 1an-3 是等差数列；
（2）求数列 an 的通项公式．
16．（改编）（本小题 15 分）
已知点 A2,4 ， B4,2 ，直线的方程为: x-2y+1=0 ．
（1）求直线关于点 A 对称的直线 m 的方程；
（2）求经过 A,B 两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
17．（改编）（本小题 15 分）
已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的实轴长为 2,点 P0,1 到双曲线 C 的渐近线的距离为 33 ．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 P0,1 的动直线交双曲线 C 于 A、B 两点,设线段 AB 的中点为 M ,求点 M 的轨迹方程．
18．（改编）（本小题 17 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 满足 ∠ABC=∠BAD=90∘,∠CDA=45∘,AB=BC=1 ．
（1）证明:平面 PAC⊥平面 PCD ；
（2）若 PA=2 ，平面 PAD 与平面 PBC 交线为，
① 求证；
②直线上是否存在点 M ，使得平面 BDM 与平面 BDP 的夹角余弦值为 66 ？若存在， 求出 PM ; 若不存在,请说明理由．
19．（改编）（本小题 17 分）
已知 A2,3 和 P4,0 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过点 A 的直线交 C 于另一点 B ，且 △ABP 的面积为 12，求直线的方程；
（3）设过点 D0,3 的动直线与椭圆 C 有两个交点 M、N ，试判断在 y 轴上是否存在点 T 使得向量所成角 ⟨TM,TN⟩∈π2,π 恒成立,若存在,求出 T 点纵坐标的取值范围; 若不存在, 说明理由．
12． 13． 14．
15．【答案】证明：（1）∵数列满足，
∴，
∴数列是公差为的等差数列；
（2）由（1）可知数列是公差为的等差数列，
又∵，∴数列的首项为，
∴，
∴．
16．【答案】解：（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，则，
因为，所以，
整理得，即直线的方程．
（2）设圆心，由，
得，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆的标准方程为．
17．【答案】解：（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则．
因为双曲线的一条渐近线为．
点到双曲线的渐近线的距离为，所以，
所以，所以．
（2）（法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、、，
联立直线与双曲线C的方程，得，消去，得
由且，得且．
由韦达定理，得，
所以，
由消去，得．
由且，得或，
所以，点的轨迹方程为，其中或．
（法二）（2）设，中点，则：，
因为在双曲线，故，
两式相减（点差法）：，
因式分解得：，
两边除以（直线斜率显然存在），代入：
，
又直线过和，故斜率，因此：，
整理得轨迹方程（将换为）：，
所以，点的轨迹方程为，其中或．
18．【详解】（1）由勾股定理计算得，所以，
故三角形为等腰直角三角形，可得．
因为平面，平面，所以．
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）①因为，而平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面交线，所以，
而，所以．
②依题意，建立空间直角坐标系．
可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为，
则，可得
即，取，则．
因为，
所以，解得，故．
19．【解析】（1）由题意，解得
所以椭圆方程．
（2）
当的斜率不存在时，，到距，
此时不满足条件．
当直线斜率存在时，设，设，
，消可得，
当时，
，又，所以，
∴，
又点到直线的距离，
所以，
整理可得或（无解），即，
解得或，此，时代入检验，均满足，
∴或，
即或．
（3）椭圆方程为：．若过的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设，
联立椭圆方程可得，
故，
而，
故
因为恒成立，故，解得
若过点的动直线的斜率不存在，则，
此时需，
综上，点纵坐标的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
D
C
D
C
A
CD
ACD
BCD