湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性检测12月数学试题含答案含答案解析

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命题人：江楚珉 吴海波 审题人：龚日辉
时量：120分钟满分:150分
得分
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A={x|x²+3x-40)的一条渐近线方程为3x-2y=0,，双曲线的左焦点在直线 x+y+13=0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2的取值范围为
A.1+∞ B.1+∞
C.3+∞ D.3+∞
8.若函数 fx=m-x2+2lnx在区间 1e2e上有两个零点，则实数m的取值范围为
A.14+1e4 B.14+1e4
C.4+1e4e2-2 D.1e2-2
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1垂直于底面ABCD，下列结论正确的是
A.若AB=AD,则AC⊥BD₁
B.若AC=BD,则AC⊥BD₁
C.若 A1D=A1B,则 BD⊥平面ACC1A1
D.若 AD=AA1,则AD1⊥平面 DA1B1C
10.抛掷一红一白的两枚骰子，用a表示红色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用(a，b)表示一次实验结果.记事件A:“a=4”,B:“a+b>10",C:“b20”，则
A.事件B与C互斥B.事件C与D 对立
C.事件B发生的概率为 112D.事件A与D 相互独立
11.已知抛物线 y2=2pxp0)的焦点为 F，AB是经过抛物线焦点F 的弦，M是线段AB 的中点，分别经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是 C,D,N,连接 NF,NB，NA，则下列说法正确的是
A. NF⊥AB
B.直线 NA，NB均与抛物线相切
C.直线 NA与NB 不一定垂直
D.∣NA∣⋅∣NB∣≥2p2
选择题答题卡
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知平面向量m，n满足 m⋅n=2,且 m⟂m-2n,则 ∣m∣=
13.已知函数 fx=xx-c2有极大值 32，则实数c 的值为
14.若数列 an满足 a1=a2=1,an+an+1+an+2=n+12n∈N*则 a20=____.
四、解答题(本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分13分)
(1)讨论函数 fx=kx-lnx的单调性并求极值，
(2)证明不等式： lnx≥1-1x.
16.(本题满分15分)
已知数列 an的前n项和为 Sn,且 Sn-Sn-1=2an+1-an-1 n∈N*n≥2,a1=1,a2=2.
(1)记 bn=anan+1,求数列 bn的通项公式；
(2)记 cn=lg2an-lg2an+2,求数列 cn前n项的和 Tn
17.(本题满分15分)
如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=π2,BC=2AB=2,现将 Rt△ABC绕直角边AC 旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P 为圆锥的内切球O与CD 的切点，E为BD的中点。
(1)求点 P 到平面BCE 的距离;
(2)求平面BCE与平面PAE 所成夹角的余弦值.
18.(本题满分17分)
已知函数 fnx=xn+xn-1+⋯+x-1n∈N*.
(1)求函数 f3(x),f4(x)的零点个数;
(2)记函数 fn(x)在区间(0,+∞)上的零点为xₙ,求证:
(Ⅰ)数列{xₙ}是一个递减数列；
Ⅱn+12≤x1+x2+⋯+xn≤n.
19.(本题满分17分)
已知圆 O:x2+y2=r2,椭圆E :x24+y22=1.点 Px0,y0为圆O上任意一点，过点 P 作圆O的切线与椭圆E 交于A，B两点.
(1)当r=1时,
(Ⅰ)证明：切线方程为 x0x+y0y=1;
(Ⅱ)求 △OAB面积的取值范围.
(2)直线AB关于原点O 的对称直线与椭圆E 交于C，D两点，是否存在r，使四边形ABCD为菱形.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案