湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测数学试题

长沙市第一中学2023－2024学年度高二第一学期第一次阶段性检测

数学

时量：120分钟    满分：150分

得分________

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，，则（    ）

A．                B．             C．               D．

2．的一个必要不充分条件是（    ）

A．         B．        C．          D．

3．如图，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P为所在棱的中点，则直线AB与平面MNP的位置关系为（    ）

A．平行              B．垂直              C．相交               D．直线在平面内

4．已知平面向量，，如果，则（    ）

A．                B．              C．                  D．

5．下列一组数据的25%分位数是（    ）

2.8，3.6，4.0，3.0，4.8，5.2，4.8，5.7，5.8，3.3

A．3.0                B．4.0               C．4.4                 D．3.3

6．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ）

A．               B．9                 C．16                 D．25

7．实数x，y满足，则的取值范围是（    ）

A．          B．       C．         D．

8．在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为（    ）

A．               B．              C．                 D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个3选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列结论不正确的是（    ）

A．过点，的直线的倾斜角为

B．直线恒过定点

C．直线与直线之间的距离是

D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5

10．已知函数（其中，）相邻的两个零点为，，则（    ）

A．函数的图象的一条对称轴是        B．函数的图象的一条对称轴是

C．的值可能是                              D．的值可能是

11．如图，在三棱锥中，，若三棱锥的体积为，则下列说法正确的有（    ）

A．                            B．直线PC与面PAB所成角的正弦值为

C．点A到平面PBC的距离为          D．三棱锥的外接球表面积

12．已知定义在上的函数，对于给定集合A，若，当时都有，则称是“A封闭”函数，则下列命题正确的是（    ）

A．是“封闭”函数

B．定义在上的函数都是“封闭”函数

C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数

D．若是“封闭”函数，则在区间上单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知i是虚数单位，化简的结果为________．

14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为________．

15．已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为________．

16．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知直线与直线的交点为M．

（1）求过点M且与直线垂直的直线l的方程；

（2）求过点M且与直线平行的直线的方程．

18．（本小题满分12分）

移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

（1）求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；

（2）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．

19．（本小题满分12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角B；

（2）已知，，求的面积．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知函数为偶函数．

（1）求k的值；

（2）设函数，若，恒成立，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知圆O的方程为，直线与圆O交于R，S两点．

（1）若坐标原点O到直线的距离为，且l过点，求直线l的方程；