新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末考试 数学试卷

这是一份新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末考试 数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数的常数项是（ ）
A．B．3C．5D．6
2．下面常见的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列成语所描述的事件中，是必然事件的是（ ）
A．水中捞月B．旭日东升C．一步登天D．守株待兔
5．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ）
A．36B．38C．40D．42
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且，
C．D．且，
8．如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．已知二次函数的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
11．关于x的一元二次方程有一个根是3，则a的值为 ．
12．若点在抛物线上，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．数学活动课上，小玲同学制作了一顶圆锥形纸帽（如图），若圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
14．在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共50个，这些球除颜色外其他都相同．丽丽通过多次重复试验发现，摸出红球的频率稳定于，则袋子里黄球的个数可能是 个．
15．如图，圆内接四边形中，，连接．则的度数是 ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点B逆时针旋转后的图形，并写出点C的对应点的坐标为 ．
(2)画出关于点O中心对称的，并写出点A的对应点的坐标为 ．
18．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且，
(1)求证：平分；
(2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）．
19．中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读．
(1)小华选取到《九章算术》是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）；
(2)小颖恰好选取到《几何原本》的概率为 ；
(3)将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率．
20．为满足市场需求，某超市购进一批香梨，每箱进价是30元．超市规定，每箱香梨的售价不得少于35元且不得多于45元，根据以往销售经验发现：当售价定为每箱35元时，每天可以卖出700箱；每箱售价每提高1元，则每天少卖出20箱．
(1)如果超市想要每天获得的利润为6000元，则每箱售价应定为多少元？
(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长（结果保留）．
22．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为___________；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使得﹖若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
解：二次函数的常数项是；
故选：C
2．A
解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
3．D
解： ，
或，
原方程的解为：，
故选：D．
4．B
解：A、水中捞月是不可能事件，故A不符合题意；
B、旭日东升是必然事件，故B符合题意；
C、一步登天是不可能事件，故C不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，故D不符合题意；
故选B．
5．A
解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：A
6．A
解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴的周长．
故选：A．
7．B
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故选：B．
8．C
解：如图，连接、，

∵正六边形是的内接正六边形，
，
，
故选：C．
9．D
解：由图知，，，
对称轴为直线，得，
∴，故A选项不符合题意，
∵时，，故B不符合题意；
∵，，
∴，即，故C不符合题意；
∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故D符合题意；
故选：D．
10．
解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
11．
解：将带入得：，
解得：，
故答案为：．
12．
解：∵抛物线，
∴对称轴为，开口向上，
∵在抛物线上，
∴关于直线的对称点在抛物线上，
∴．
故答案为：．
13．
解：圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
侧面面积．
故答案为：．
14．20
解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个），
∴袋子中黄球的个数为（个），
故答案是：20．
15．/50度
解：由题意知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)，
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
即，．
17．(1)画图见解析，点C的对应点的坐标为．
(2)画图见解析，点A的对应点的坐标为，
（1）解：如图，即为所求；
点C的对应点的坐标为．
（2）解：如图，即为所求；
点A的对应点的坐标为．
18．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：连结，如图所示，
切与点，
，
，
，
，
，
平分．
（2）如图，过作与点
点是弦所对的优弧上一点，且，
,
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：．
19．(1)随机事件
(2)
(3)
（1）解：由题意知，小华选取到《九章算术》是随机事件；
（2）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《几何原本》的结果有1种，则．小颖恰好选取《几何原本》的概率为；
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为．
20．(1)售价定为元
(2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元．
（1）解：设售价定为元，且，
依题意得，，
整理得，，
解得，或（舍去），
答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元．
（2）解：依题意得，
，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，则：，

∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
22．(1)见解析
(2)能，
（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
23．(1)
(2)
(3)存在，或
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）如图，连接交于点，连接
∵点是抛物线对称轴上的一个动点，
，
∴对称轴为，
根据对称轴可得关于对称轴,
∴，
当三点共线时，最小，
∵，，设直线的解析式为，
,
解得,
∴直线的解析式为，
设，
当时，，
∴,
∴当的值最小时，点的坐标为;
（3）解：∵抛物线的解析式为；
∴其对称轴，顶点的坐标为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵，，
∴设过点、的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
当点在点上方时，，解得，
∴此时；
当点在点下方时，，解得，
∴此时，
综上所述，可得：或．
B
C
B
C