河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（IV）数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省2026届高三上学期大数据应用调研联合测评（IV）数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
4．已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
6．在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（ ）
A．1B．C．2D．3
7．已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Jshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知正实数、满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为D．存在、满足
10．在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若为等腰三角形，则
C．当时，D．当时，
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的面积为
C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值
D．存在，满足
三、填空题
12．若随机变量，则 ．
13．已知数列为等差数列，为的前项和，若，则 ．
14．若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知数列满足．
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为表示不大于的最大整数，求．
17．在某直播平台上购物成为了很多人最喜欢的购物方式．近日该平台发现新上平台的商品经常收到买家投诉，于是进行调研分析，发现购买商品的只有青年和中老年（年龄>44）两类购买者，从所有购买商品的买家中，随机抽取青年购买者和中老年购买者各100人，给商品打分分）并提出建议，分数统计如下表格(假设各组数据在对应的区间内均匀分布)：
(1)请根据表格数据，估计青年购买者打分的平均数和中老年购买者打分的中位数（每组数据以区间中点值为代表）；
(2)若购买者打分在区间内为“满意顾客”，其他为“不满意顾客”．
①根据表格数据，将频率视为概率，从商品的所有购买者中随机抽取一名购买者，记事件“该购买者为青年购买者”，事件“该购买者为满意顾客”，计算的估计值；
②请利用表格数据补充完整下列列联表（注：区间频数若不是整数，四舍五入后保留整数），并依据小概率值的独立性检验，能否认为对商品是否满意与购买者群体有关．
附：．
18．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且与轴交于点的准线与轴交于点．
(1)当直线的斜率为1时，求的值；
(2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)求证：为锐角．
19．已知函数是函数的一个极值点．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，且．
①求实数的取值范围；
②求证：．
参考答案
1．C
【详解】集合，又，
所以，
故选：C．
2．D
【详解】因为双曲线的方程为，所以，
所以双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D．
3．A
【详解】设，代入， 得到，解得，
即，故，即，
解得或－2，因为，所以，故.
故选：A．
4．B
【详解】由函数的图象的一条对称轴为，得，
解得，又因为，所以或，
因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
5．C
【详解】设长方体的外接球半径为，且，
因为外接球表面积为，故，即，
又因为，可得，即，
所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立，
所以长方体的体积的最大值为.
故选：C．
6．B
【详解】设点为内切圆圆心，则，
则，
因为是等边三角形，故点也是的重心，
故，故，
由等面积得，则，
故.
故选：B
7．B
【详解】设，由于函数为偶函数，且当时，，故的大致图象如图所示，
当时，函数的图象与直线有四个交点，横坐标分别设为，，且，
故四个方程的根的个数分别为0，0，4，2，
故方程恰有6个不同的根，因此B选项正确．容易验证取其他值时，不符合题意．
故选：B.
8．C
【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，
点到的距离，
故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，
记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为，
故；等边三角形的面积为，
扇形的面积为，故；
三角形的面积为，
扇形的面积为，故.
故阴影部分面积.
故选：C．
9．AC
【详解】由正实数、满足得，
又因为，解得，故A选项正确；
由已知条件及得，解得，
当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误；
由已知条件及得，解得，
当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确；
由得，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误．
故选：AC．
10．BC
【详解】对于A，，即，
因为，故，故，故，A选项错误；
对于A，由对A选项的分析可知，当为等腰三角形时，为等边三角形，故，则，解得，故B选项正确；
对于C，当时，，
结合余弦定理 得，即，即，故C选项正确；
对于D，由，又由对C选项分析可知，当时，，代入，解得，
故，代入，得，
故，即，故D选项错误．
故选：BC．
11．AC
【详解】对于A，依题意，，则，由离心率为，得，解得，A正确；
对于B，当时，点，线段的中点为椭圆的上顶点，即点，
的面积为，B错误；
对于C，设，则，直线与直线的斜率分别为，
，则，C正确；
对于D，假设存在，使得，由为线段的中点，得与矛盾，
因此假设不成立，即不存在，使得，D错误.
故选：AC
12．
【详解】由于随机变量，故，
因此．
故答案为：
13．2027
【详解】由等差数列性质知，
则．
故答案为：2027
14．
【详解】因为，所以，
所以不等式等价于，
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间 上单调递增，在区间上单调递减，
故；
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
因为恒成立，
所以，即．
故答案为：
15．(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）因为平面，平面，所以．
因为，所以．
又因为平面，故平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）因为，所以以点为坐标原点，
以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，
则即，令得，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）解：由数列满足，
可得，
又由，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，
所以，故，
因为，故，因此．
17．(1)平均数6.6，中位数4.125
(2)①；②表格见解析，认为对商品是否满意与购买者群体有关
【详解】（1）由表格数据可知青年购买者打分的平均数
．
由数据可知中老年购买者打分在区间内的频率为，故其中位数满足：，解得．
（2）“假设各组数据在对应的区间内均匀分布”，
①由题意知，
．
因此．
②由表格数据知“满意的青年购买者”的人数为（人），“不满意的青年购买者”的人数为70人；“满意的中老年购买者”的人数为（人），“不满意的中老年购买者”的人数为88人，故补充完整的列联表如下：
零假设为：对商品是否满意与购买者群体无关．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对商品是否满意与购买者群体有关，此判断犯错误的概率不超过0.01．
18．(1)4
(2)存在，1
(3)证明见解析
【详解】（1）设两点坐标分别为，由题意知的坐标为（1，0），当直线的斜率为1时，直线的方程为，
联立消去，整理得，解得，
故，点坐标为,
故，
故．
（2）存在，理由如下：
由题可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，
联立消去得，
，
由题意知点坐标为 ，故．
，故，
故时，
所以存在满足题意的常数，且.
（3）证明：，
故，
显然三点不共线，故为锐角．
19．(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）．
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得，
故，令，解得或，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以是函数的极大值点，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）．
（2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得．
当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得；
因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得；
因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得．
所以满足题意．
所以实数的取值范围为．
②先证：．
要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证．
设，则，当时，，故，故在区间上单调递减，故.因此成立．给商品打分区间
青年购买者
5
35
45
15
中老年购买者
35
40
20
5
满意顾客
不满意顾客
合计
青年购买者
100
中老年购买者
100
合计
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
满意顾客
不满意顾客
合计
青年购买者
30
70
100
中老年购买者
12
88
100
合计
42
158
200