河北省2025-2026学年高一上学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省2025-2026学年高一上学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：集合，所以，所以，
故选：D．
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：由题意得，解得或，
故函数的定义域为，
故选：C．
3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：函数为幂函数，，
，又在上单调递减，，
，，
故选：D．
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
解析：，
，若，则，所以不成立；
当时，，当时，，所以不成立．
因此，“”是“”的既不充分又不必要条件．
故选：D．
5. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，不是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：是奇函数，．
对于是奇函数．
对于，是奇函数．
对于不是奇函数．
对于是奇函数．
故选: C．
6. 已知，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：因为，且，
所以．
故选：B．
7. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：设，
则，
所以
解得
所以，
因为，
所以，，
由不等式的性质可得，即，
故选:B．
8. 已知定义在上的偶函数满足：，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：由得，则在上单调递增，
又由偶函数性质知，所以，
即，整理得，
解得或，
所以原不等式的解集为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
解析：由于函数，而函数，两个函数的对应关系不同，故它们不是同一个函数，故A不符合题意；
由于函数定义域为R和函数，定义域为R，具有相同的定义域、对应关系、值域，故它们是同一个函数，故B符合题意；
由于函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，故它们不是同一个函数，故C不符合题意；
由于函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域、对应关系、值域都相同，故它们是同一个函数，故D符合题意．
故选：BD．
10. 已知函数在上单调递增，则关于实数，下列可以取的值为（ ）
A. B. -1C. 0D.
【答案】ABD
解析：当时，，
取，则，
所以函数不是单调函数，所以，
因为函数在上单调递增，所以两段函数都分别单调递增，
因为二次函数在上单调递增，
所以，解得：
为了满足函数在上单调递增，
还需要满足，解得，
综上：
故选：ABD．
11. 已知关于的不等式的解集为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为9
D. 的最大值为1
【答案】BC
解析：因为关于的不等式的解集为，所以，故A错误；
由题意可知，关于的方程的两根分别为，
由根与系数的关系得可得
两式相加得，两式相减得，故B正确；
由，可得，
当且仅当即时，等号成立，故C正确；
，
当且仅当即时，等号成立，但，所以等号不成立，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“”的否定是___________．
【答案】
解析：命题“”的否定是“”．
故答案为：“”．
13. 不等式的解集为___________．
【答案】
解析：由，
得，解得，则解集为．
故答案为：
14. 若存在，，则实数的最大值为___________．
【答案】
解析：原不等式化为
存在
只需，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
，则实数的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（1）
对于，
当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意；
当时，方程为关于的一元二次方程，
由题意知，该方程有两个相等的实根，
所以，
解得或.
所以实数的取值构成的集合为.
（2）
由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论：
①当时，，即.
②当集合中只有一个元素时，由（1）知，
当时，，，；
当时，，，，；
当时，，，，.
③当集合中有两个元素时，
因为，所以，即，
即关于的方程的两根分别为1，2，
所以，无解
综上所述，实数的取值范围是.
16. 眼下正是栗子成熟热销的季节，尤其是“糖炒栗子”，更是受到广大消费者的喜爱，一家名叫“甘甜美栗”的店为促销糖炒栗子，提供了多购优惠的阶梯式购买方案，购买方案如下表：
记顾客购买的糖炒栗子的质量为，消费额为元．
（1）求函数解析式；
（2）一位顾客第一天购买了糖炒栗子，品尝后觉得味道很好，第二天便带着一个朋友来购买糖炒栗子，他想买，朋友想买，两人商量着一起购买，请帮他们计算一下，两人合伙购买比他们各自购买节省了多少钱．
【答案】（1）
（2）两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱.
（1）
由题意可知，当时，；
当时，；
当时，.
故
（2）
由（1）可知，
当两人各自购买时，消费总额为（元），
当两人合伙购买时，消费总额为（元），
（元），
所以两人合伙购买比他们各自购买节省了18元钱.
17. 已知函数的定义域为．
（1）若集合为函数的定义域，求集合；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1）.
（2）.
（1）
因为函数的定义域为，
即，所以，
由，得，
所以集合.
（2）
由（1）知，
令，则，
令，
对于任意，不妨令，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递减，
同理得在上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，所以，
所以的值域为.
18. 小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数．
（1）试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心；
（2）求的值；
（3）若函数．
①证明：函数的图象关于直线对称；
②讨论方程根的个数．
【答案】（1）的图象是中心对称图形，函数的图象关于点中心对称.
（2）
（3）①证明见解析；②答案见解析
（1）
的图象是中心对称图形.
因为，
所以函数的图象关于点中心对称.
（2）
由（1）得，
所以.
（3）
①证明：，
因为，
所以，
所以函数的图象关于直线对称.
②解法一：由得，
令，则函数的图象是由幂函数的图象向右平移个单位长度，
再将轴下方的部分沿轴翻折形成的，如图，
由图得，当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根；
当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根，
综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根.
解法二：由得（*），
当时，恒成立，此时方程无解，
当时，时，（*）化为，即，
解得，满足，此时方程有一个解；
时，（*）化为，即，
解得，满足，此时方程有一个解，
综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根.
19. 权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分）
（1）已知均为正实数，且，求证：；
（2）已知均为正实数，且，求的最小值；
（3）对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）36 （3）
（1）
证明：因为均为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立
（2）
因为均为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.
（3）
对任意实数，，不等式恒成立，
又，则只需，
因为，所以，
所以，
设，则，
当且仅当
即时，两个等号同时成立，
故.
所以正实数的取值范围是.
购买的糖炒栗子质量/kg
糖炒栗子单价/（元/kg）
不超过的部分
36
超过但不超过的部分
30
超过的部分
24