福建省漳州市八年级上学期期末教学质量检测数学试题（华东师大版B卷）-A4

这是一份福建省漳州市八年级上学期期末教学质量检测数学试题（华东师大版B卷）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．﹣3.14C．0D．
2．（4分）计算a3•a的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
3．（4分）下列以a，b，c为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝5，b＝8，c＝15D．a＝6，b＝7，c＝8
4．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
5．（4分）如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，仍无法判定△AOB≌△DOC的是（ ）
A．OB＝OCB．AB＝DCC．∠A＝∠DD．∠B＝∠C
6．（4分）能说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例可以是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝1C．a＝2D．a＝π
7．（4分）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm），计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下：
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大
B．核桃树叶的长宽比大约为3.1
C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm
D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶
8．（4分）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠2＝∠1B．∠2+∠1＝90°C．∠2﹣∠1＝30°D．∠2＝2∠1
9．（4分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b•2b•2b，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+2＝4bB．a＝bC．a+2＝b4D．4a＝b4
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4．下列结论：①△AED是等腰三角形；③AC＝2CD；④S△ACD：S△ABD＝3：5，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）计算：x（x+2）＝ ．
12．（4分）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．（4分）如图，若∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，则∠2的度数是 ．
14．（4分）八年（1）班学习委员调查本班学生一周内课外阅读情况，按照课外阅读时间进行统计
则表中a的值是 ．
15．（4分）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，4，5；5，12，13；7，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为2n﹣1（n＞1，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示）
16．（4分）若实数x，y，z满足x﹣y+z＝100，xy+yz﹣10y+z2+2025＝0，则x的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：[（2x﹣y）（2x+y）﹣x（4x﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
19．（8分）如图，AB＝AC，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
20．（8分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣1和5﹣2x，求2x的立方根．
21．（8分）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化．经测量∠ABC＝90°，AB＝7m，CD＝20m，AD＝15m
22．（10分）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球试验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率；
（2）求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数；
（3）若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？
23．（10分）如图，已知点A、B在直线l的同侧，AE⊥l，垂足分别为E、F．
（1）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，连接CA、CB，求证：EF＝AE+BF．
24．（12分）【问题提出】
当多项式ax2+bx+c（a≠0）是某一个多项式的平方时，实数a，b
【问题探究】
当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，发现：（﹣2）2＝4×1×1；
当a＝1，b＝6，c＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2，发现：62＝4×1×9；
…
【问题解决】
（1）当ax2+bx+c＝（mx+n）2（a≠0）时，猜想a，b，c之间的数量关系；
【拓展运用】
（2）若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式；
（3）若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是某一个多项式的平方
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是AB边上的一点，连结DM
（1）如图1，当DM⊥AB时，求证：DM＝DN；
（2）如图2，当M是AB边上任意一点时，DM与DN还相等吗？若相等，若不相等，请说明理由；
（3）请写出AC、BM、NC之间的数量关系，并证明．
2024-2025学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷（华师大版B卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的相应位置填涂。
1．（4分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．﹣3.14C．0D．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：是分数，2是整数；
只有是无理数；
故选：D．
2．（4分）计算a3•a的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：a3•a＝a3+2＝a4，
故选：C．
3．（4分）下列以a，b，c为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝12，c＝13
C．a＝5，b＝8，c＝15D．a＝6，b＝7，c＝8
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项判断即可．
【解答】解：A、32+42＝25≠64，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、52+122＝169＝132，能构成直角三角形，符合题意；
C、5+2＝13＜15，不符合题意；
D、62+72＝85≠86，不能构成直角三角形，不符合题意，
故选：B．
4．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6B．x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4
C．y2+2y﹣1＝y（y+2）﹣1D．y2﹣9＝（y+3）（y﹣3）
【分析】首先要理解因式分解的概念，即把一个多项式转换为几个因式乘积的形式．因此，对于给定的选项，需要判断哪些选项展示的是因式分解，即从多项式形式变为几个多项式乘积的形式．
【解答】解：A、这个等式左边是两个一次多项式的乘积．这是一个典型的展开过程．因此A选项不是因式分解．
B、这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，所以B选项不是因式分解．
C、这个等式右边是y乘以一个一次多项式再减去一个常数，因此C选项不是因式分解．
D、y2﹣9＝（y+2）（y﹣3），这个等式左边是一个二次多项式．因此D选项是一个正确的因式分解．
故选：D．
5．（4分）如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，仍无法判定△AOB≌△DOC的是（ ）
A．OB＝OCB．AB＝DCC．∠A＝∠DD．∠B＝∠C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：在△AOB与△DOC中，
A、∵OA＝OD，OB＝OC，
∴△AOB≌△DOC（SAS），正确；
B、∵OA＝OD，AB＝DC，
不能判定△AOB≌△DOC，符合题意；
C、∵OA＝OD，∠A＝∠D，
∴△AOB≌△DOC（ASA），正确；
D、∵OA＝OD，∠B＝∠C，
∴△AOB≌△DOC（AAS），正确，
 故选：B．
6．（4分）能说明命题“若|a|＞1，则a＞1．”是假命题的反例可以是（ ）
A．a＝﹣2B．a＝1C．a＝2D．a＝π
【分析】根据判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理进行判断即可．
要说明一个命题的是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例．
【解答】解：要说明一个命题的是假命题，通常可以举出一个例子，而不具备命题的结论．据此判断如下：
A．a＝﹣2，而﹣2＜4，则a＞1；
B．a＝1，∴说明命题“若|a|＞8．”是假命题的反例不可以是a＝1；
C．a＝2，5＞1，则a＞1；
D．a＝π，π＞2，则a＞1．
故选：A．
7．（4分）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm），计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下：
根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大
B．核桃树叶的长宽比大约为3.1
C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm
D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶
【分析】根据题目给出的数据判断即可．
【解答】解：根据图表信息判断如下：
A．长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确；
B．∵，
∴核桃树叶的长宽比大约为3.8，故选项正确；
C．核桃树叶的长宽比大约为3.1，不是准确值，它的宽不一定为6cm，符合题意；
D．∵枇杷树叶长宽比约为：，
又∵13.6cm÷6＝2.7，
∴故选项正确，不符合题意；
故选：C．
8．（4分）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠2＝∠1B．∠2+∠1＝90°C．∠2﹣∠1＝30°D．∠2＝2∠1
【分析】根据题意证明△ABC≌△DEF，得到∠ACB＝∠1，由∠ACB+∠2＝90°得到∠1+∠2＝90°．
【解答】解：如图，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠1，
∵∠ACB+∠2＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
故选：B．
9．（4分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b•2b•2b•2b，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+2＝4bB．a＝bC．a+2＝b4D．4a＝b4
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可得出答案．
【解答】解：∵2a+2a+3a+2a＝2b•8b•2b•2b，
∴8×2a＝26b，
∴22×3a＝24b，
∴32+a＝26b，
∴a+2＝4b，
故选：A．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4．下列结论：①△AED是等腰三角形；③AC＝2CD；④S△ACD：S△ABD＝3：5，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由角平分线定义得到∠DAE＝∠CAD，由平行线的性质推出∠ADE＝∠CAD，得到∠DAE∠ADE，判定△AED是等腰三角形，设DE＝x，由勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，求出x＝3，得到DE＝AE＝3，BE＝5，由平行线分线段成比例定理推出DC：DB＝AE：EB＝3：5，得到S△ACD：S△ABD＝3：5，判定△BED∽△BAC，推出DE：AC＝BE：AB，求出AC＝，由CD：DB＝3：5，BD＝4，得到CD＝，因此AC＝2CD，由勾股定理求出AD＝，因此AD≠DB，于是∠B≠∠DAB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAE∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△AED是等腰三角形，
故①符合题意；
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠C＝90°，
设DE＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣x，
∵DE2+BD4＝BE2，
∴x2+52＝（8﹣x）6，
∴x＝3，
∴DE＝AE＝3，BE＝5，
∵DE∥AC，
∴DC：DB＝AE：EB＝3：5，
∴S△ACD：S△ABD＝8：5，
故④符合题意；
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：AB，
∴3：AC＝4：8，
∴AC＝，
∵CD：DB＝4：5，BD＝4，
∴CD＝，
∴AC＝2CD，
故③符合题意；
∵AD＝＝，
∴AD≠DB，
∴∠B≠∠DAB，
故②不符合题意，
∴其中正确的有8个．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填入答题纸的相应位置。
11．（4分）计算：x（x+2）＝ x2+2x ．
【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可．
【解答】解：根据单项式乘多项式法则可得：
x（x+2）＝x2+8x，
故答案为：x2+2x．
12．（4分）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 12 ．
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、8，2，
能组成三角形，
周长＝5+7+2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为5、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
13．（4分）如图，若∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，则∠2的度数是 40° ．
【分析】证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）得到∠2＝∠ACB，再利用三角形内角和求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝50°，
∴∠5＝∠ACB＝90°﹣∠1＝40°，
故答案为：40°．
14．（4分）八年（1）班学习委员调查本班学生一周内课外阅读情况，按照课外阅读时间进行统计
则表中a的值是 10 ．
【分析】先根据2﹣4小时有15人，占比为30%求出总人数，即可求解．
【解答】解：总人数为15÷30%＝50（人），
∴a＝50×20%＝10．
故答案为：10．
15．（4分）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，4，5；5，12，13；7，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为2n﹣1（n＞1，n为正整数），则股是 2n2﹣2n ．（结果用含n的式子表示）
【分析】由题意可知2n﹣1为奇数，设股是a，则弦为a+1，再根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵n＞1，n为正整数，
∴2n﹣7为奇数，
设股是a，则弦为a+1，
根据勾股定理得：（2n﹣2）2+a2＝（a+3）2，
解得：a＝2n6﹣2n，
故答案为：2n6﹣2n．
16．（4分）若实数x，y，z满足x﹣y+z＝100，xy+yz﹣10y+z2+2025＝0，则x的值是 55 ．
【分析】根据x﹣y+z＝100，得出x+z＝100+y，将xy+yz﹣10y+z2+2025＝0变形为（y+45）2+z2＝0，根据偶次方的非负性求出z，y的值即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣y+z＝100，
∴x+z＝100+y，
∵xy+yz﹣10y+z2+2025＝0，
∴（x+z）y﹣10y+z7+2025＝0，
∴（100+y）y﹣10y+z2+2025＝6，
∴y2+90y+2025+z2＝4，
y2+2•y•45+458+z2＝0，
∴（y+45）4+z2＝0，
∵（y+45）6≥0，z2≥7，
∴y+45＝0，z＝0，
∴y＝﹣45，z＝4，
∴x+0＝100﹣45，
∴x＝55．
故答案为：55．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置解答。
17．（8分）计算：．
【分析】先求出算术平方根和立方根，化简绝对值，再计算加减即可得到答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
18．（8分）先化简，再求值：[（2x﹣y）（2x+y）﹣x（4x﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式进行括号内计算，再计算除法，然后把x＝1，y＝﹣2代入化简后的整式计算即可．
【解答】解：[（2x﹣y）（2x+y）﹣x（2x﹣2y）]÷y
＝[4x8﹣y2﹣（4x7﹣2xy）]÷y
＝（4x4﹣y2﹣4x7+2xy）÷y
＝（2xy﹣y8）÷y
＝2xy÷y﹣y2÷y
＝7x﹣y；
当x＝1，y＝﹣2时．
19．（8分）如图，AB＝AC，AD＝AE．
求证：BD＝CE．
【分析】根据AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，可证△ABD≌△ACE，即可得到BD＝CE．
【解答】证明：根据题意AB＝AC，AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
20．（8分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣1和5﹣2x，求2x的立方根．
【分析】分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得3x﹣1+5﹣2x＝0，接下来解方程可得x的值，然后根据立方根的定义可得答案．
【解答】解：由条件可知3x﹣1+5﹣2x＝0，
∴x＝﹣4．
∴2x的立方根是﹣2．
21．（8分）漳州市在创建“全国文明城市”期间积极开展生态环境整治．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD（如图）进行绿化．经测量∠ABC＝90°，AB＝7m，CD＝20m，AD＝15m
【分析】由勾股定理得AC＝25m，再由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形．且∠D＝90°，然后由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝7m，CD＝20m，
∴，
∴AD7+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC
＝AD•CD+
＝×20×15+
＝150+84
＝234（m2）．
22．（10分）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球试验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率；
（2）求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数；
（3）若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图求出摸球的总数，然后求出摸出白球的频数，补全条形统计图即可；根据摸出黄球的频数和摸球总数求出摸出黄球的频率即可；
（2）根据第一小组摸出黑球所占的百分比求出所对应的扇形的圆心角的度数即可；
（3）根据实验的随机性进行回答即可．
【解答】解：（1）12÷10%＝120（次），
摸出白球的频数为：120﹣12﹣48﹣24＝36，
摸出黄球的频率为：，
补全条形统计图如图：
（2）圆心角的度数为：360°×10%＝36°；
（3）因为进行实验时具有随机性，所以当第二小组与第一小组的试验次数相同时，但不会完全相同．
23．（10分）如图，已知点A、B在直线l的同侧，AE⊥l，垂足分别为E、F．
（1）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在（1）的条件下，连接CA、CB，求证：EF＝AE+BF．
【分析】（1）做线段AB的垂直平分线，交直线l于点C，点C即为所求．
（2）先证明∠1＝∠3，进而证明△AEC≌CFB（AAS），得到AE＝CF，EC＝BF，进一步可证明EF＝EC+CF＝AE+BF．
【解答】（1）解：连接AB，作线段AB的垂直平分线MN，点C即为所求．
（2）证明：∵AE⊥l，∠AEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∴EF＝EC+CF＝AE+BF．
24．（12分）【问题提出】
当多项式ax2+bx+c（a≠0）是某一个多项式的平方时，实数a，b
【问题探究】
当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，发现：（﹣2）2＝4×1×1；
当a＝1，b＝6，c＝9时，x2+6x+9＝（x+3）2，发现：62＝4×1×9；
…
【问题解决】
（1）当ax2+bx+c＝（mx+n）2（a≠0）时，猜想a，b，c之间的数量关系；
【拓展运用】
（2）若多项式4y2+4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式；
（3）若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是某一个多项式的平方
【分析】（1）由题干中的例子总结规律，然后进行证明即可；
（2）由题意，分单项式的次数为1或单项式的次数为4两种情况分类讨论，再根据得到的规律求得对应的单项式即可；
（3）根据总结的规律列得方程，解方程即可．
【解答】解：（1）a，b，c之间的关系为b2＝4ac，证明如下：
∵（mx+n）3＝m2x2+2mnx+n2，
∴a＝m2，b＝4mn，c＝n2，
∴b2＝（4mn）2＝4m7n2，4ac＝2m2n2，
∴b3＝4ac；
（2）①当单项式的次数为1时，此时a＝2，
则b2＝4ac＝3×4×4＝64，
解得：b＝8或﹣8，
此时单项式为8y或﹣6y；
②当单项式的次数为4时，此时b＝4，
则32＝4×3a，
解得：a＝1，
此时单项式为y4；
综上所述，满足条件的单项式有y2、8y或﹣8y；
（3）已知多项式（n+7）x2﹣（2n+5）x+（n+6）是某一个多项式的平方，
则a＝（n+1），b＝﹣（3n+6），
那么[﹣（2n+3）]2＝4（n+3）（n+6），
解得：n＝3．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是AB边上的一点，连结DM
（1）如图1，当DM⊥AB时，求证：DM＝DN；
（2）如图2，当M是AB边上任意一点时，DM与DN还相等吗？若相等，若不相等，请说明理由；
（3）请写出AC、BM、NC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意得，进而得到∠ADM＝30°，∠AND＝90°，得到DN⊥AC，即可得到结论；
（2）E为AB的中点，连接DE，根据题意可证明△AED是等边三角形，进而证明△EDM≌△ADN，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论：①若点N在线段AC上，由（2）可知△EDM≌△ADN，得出EM＝AN，进而得出，即可得到．②点N在CA的延长线上，同①思路求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，即AD平分∠BAC，
∵DM⊥AB，
∴∠AMD＝90°，
∴∠ADM＝90°﹣∠MAD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠ADN＝∠MDN﹣∠MDA＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AND＝180°﹣∠NAD﹣∠ADN＝90°，
∴DN⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN；
（2）解：DM＝DN；
证明：如图4，E为AB的中点，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴DE＝AE＝BE，
∴△AED是等边三角形，
∴DE＝AD，∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠EDM+∠MDA＝∠ADN+∠MDA，
∴∠EDM＝∠ADN，
在△EDM和△ADN中，
，
∴△EDM≌△ADN（ASA），
∴DM＝DN；
（3）解：．
证明：分两种情况讨论：
①如图7，若点N在线段AC上，
由（2）可知△EDM≌△ADN，
∴EM＝AN，
∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴；
②如图6，点N在CA的延长线上，
由（2）可知△ADE是等边三角形，∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDN﹣∠NDE＝∠ADE﹣∠NDE，即∠EDM＝∠ADN，
∵∠EMD+∠EDM＝∠AED＝60°，
∠N+∠ADN＝∠CAD＝60°，
∴∠EMD＝∠N，
在△ADN和△EDM中，
，
∴△ADN≌△EDM（AAS），
∴AN＝EM，
∵，
∴，
∴，
即．
综上所述，．
阅读时间
2小时以下
2﹣4小时
4小时以上
人数/名
25
15
a
百分比
b
30%
20%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
B
A
C
B
A
C
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