福建省漳州市第三中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市第三中学九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了 如果，则， 元旦将至，九， 已知点，在抛物线等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位，越界答题！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画图在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效．
一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．
1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口．根据抛物线的开口向下可得，从而即可得到答案．
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
的值可以是，
故选：D．
2. 如果，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．根据题意设，，再代入化简即可．
【详解】解：，
设，，
，
故选：B．
3. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可．
【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．
4. 如图，在矩形中，对角线，BD相交于点O，，则矩形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽．
先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长．
【详解】∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴矩形的周长为：．
故选：D．
5. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程．
【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，
∴名学生共赠贺卡为张，
由题意得：；
故选：D．
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )
A. 若，则四边形是正方形
B. 若，则四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
8. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．
【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得：
解得，
经检验，是分式方程解且符合实际意义，
即P点表示的数为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例和分式方程，解题的关键是根据平行线分线段成比例列出分式方程．
9. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长CD到到F点使，与格线交于点G，连接，利用网格特征得到 再证明 然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】解：延长CD到F点使，与格线交于点G，连接、，
则，，
，
∴，，
∽，
故选：C．
10. 已知点，在抛物线（是常数）上．以下四个结论：①抛物线一定经过点；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，在中，当时，，即可判断①；求出对称轴为直线，即可判断②，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④，熟练掌握以上知识点并熟练运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，
抛物线一定经过点，故①正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，故②正确，符合题意；
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
当时，，当时，；故③错误，不符合题意；
，
当时，，此时方程无解，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②，共个，
故选：B．
二．填空题：本小题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置．
11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，．根据根与系数的关系得：，求出即可．
【详解】解： 则根据根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为1，
故答案为：1．
12. 如图，在，，D是中点，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，根据，D是中点，得到，再用勾股定理即可求解，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】解：∵，D是中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，可得自变量的取值范围．
【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，
根据图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
自变量的取值范围是或．
故答案为：或．
14. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．
根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种，
和是偶数的概率为，
故答案为：．
15. 如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点，且，若则矩形的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再设点的坐标为，从而可得，然后利用矩形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
，
设点的坐标为，则，
，
∴，
∵点在反比例函数，
∴，
∵矩形的面积为，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：
①；②是等腰直角三角形；③当时，；④；
其中正确的结论是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①如图，证明和，即可判断；
②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断；
③先证明，假设正方形边长为1，如图1，连接交于O，设，则，表示长为可作判断；
④如图2，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
假设正方形边长为1，设，则，
如图1，连接交于O，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③不正确；
④如图2，
∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，，．
∵．
∵，
∴H、B、E三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形．
三．解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在答题纸的相应位置解答．
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解法；熟练掌握配方法、因式分解法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
∴或，
解得：，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以为位似中心，在的下方画出，使与位似，且相似比为；
（2）直接写出点和点的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答；
（2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可．
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
解：由图可得，，．
19. 如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识，证明是解题的关键．
（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
在矩形中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
．
20. 要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．
（1）若墙足够长，则垂直于墙的一边长应安排多少米？
（2）若给定墙长为，则墙长对题目的解是否有影响？有何影响？
【答案】（1）或；
（2）有影响，当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解
【解析】
【分析】（）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据题意列出方程，然后求解即可；
（）由根据（）的结论可分当时，当时，当时三种情况，找出题目解的个数；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
答：边长为或；
【小问2详解】
解：墙长对题目有影响，理由，
由（）知，垂直于墙的一边长为或；
∴靠墙的边长为：或，
当时，题目无解；
当时，题目只有一个解；
当时，题目有两个解．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据一次函数得出点，，根据求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，
点和点都在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为．
【小问2详解】
由一次函数解析式
当时，，当时，
∴，，
22. 根据以下素材，探索解决问题．
【答案】任务1：旗杆的高度为；任务二：旗杆的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
任务：根据两角相等的两个三角形相似可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解；
任务：过点作，垂足，交于点，证明，则，然后代入求出，最后用线段和差即可求解；
【详解】解：任务：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段的长度，才能求出旗杆的高度，
把该线段的长度记为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴旗杆的高度为；
任务：过点作，垂足为，交于点，
∴四边形，四边形，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴旗杆的高度为．
23. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．
【答案】（1）
（2）2 （3）0
【解析】
【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
（2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解．
【小问1详解】
依据题意，
将代入得，
解得，
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为．
【小问2详解】
∵，
∴，
则．
又∵，
∴，是一元二次方程的两个根，
则，
∴．
【小问3详解】
∵，；
∴；
即；
∴．
又∵；
∴；
即．
∵，为两个不相等的实数，
∴，
则，
∴．
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
24. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作，交的延长线于点．
（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
（3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①AB、、、CF这四条线段的比例关系：，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证；
（2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解；
（3）①作交AB于点，则，进而证明，即可得出；
②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，，，
平分，
，
，
，
，
即．
【小问2详解】
解：平分，，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
．
【小问3详解】
①AB、、、CF这四条线段比例关系：，理由如下：
如图：作交AB于点，
，，，
平分，
，
，
，
．
②平分，
，
由①知
，
，，
，
解得，
不符合题意，舍去，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）
【解析】
【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
解：∵点在二次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴；
【小问2详解】
解：∵点在的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵，
∴当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
【小问3详解】
∵的图像与轴交点为，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
测量旗杆的高度
素材1
可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得．
说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2
可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1
完善测量数据
在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务2
推理计算高度
利用素材2求出旗杆的高度．