17.3 一元二次方程根的判别式 课件 2026年春沪科版数学八年级下册

沪科版·八年级下册第17章 一元二次方程17.3 一元二次方程根的判别式学习目标12了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.3在对求根公式讨论时，注意培养学生的分类思想.回顾导入配方法求方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式：思 考方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根的条件是什么？推进新课知识点一 一元二次方程根的情况因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.b2 – 4ac 的值有三种情况：① b2 – 4ac > 0② b2 – 4ac = 0③ b2 – 4ac < 0① 当 b2 – 4ac > 0 时， 因此，方程有两个不相等的实数根：② 当 b2 – 4ac = 0 时， 因此，方程有两个相等的实数根：③ 当 b2 – 4ac < 0 时， 因此，方程没有实数根.知识点二 一元二次方程根的判别式 b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ = b2 – 4ac. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定. 一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac.当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.反过来也成立例用根的判别式判别下列方程根的情况：（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；（3）解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0，所以原方程有两个不相等的实数根.分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式.（2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0，所以原方程有两个相等的实数根.例用根的判别式判别下列方程根的情况：（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；（3）所以原方程没有实数根.练一练【教材P35练习 T1】1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：（1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0；（3）x(x + 1) = 3；（4）解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0，所以原方程没有实数根.（3）x(x + 1) = 3；（4）（3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0.所以原方程有两个不相等的实数根.因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0，所以原方程有两个相等的实数根.练一练【教材P35练习 T1】1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：练一练【教材P35练习 T2】2. 已知关于 x 的方程 x2 – 3x + k = 0. k 取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：根据题意，得 Δ = (–3)2 – 4×1×k = 9 – 4k.（1）若方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0.所以 9 – 4k > 0.（2）若方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0.所以 9 – 4k = 0.（3）若方程没有实数根，则 Δ < 0.所以 9 – 4k < 0.随堂练习1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根，则 b2 – 4ac 满足的条件是（ ）A. b2 – 4ac = 0 B. b2 – 4ac ＞ 0C. b2 – 4ac ＜ 0 D. b2 – 4ac ≥ 0D2. 已知一元二次方程：① x2 + 2x + 3 = 0，② x2 – 2x – 3 = 0. 下列说法正确的是（ ） ①②都有实数解①无实数解，②有实数解①有实数解，②无实数解①②都无实数解B3. 用根的判别式判别下列方程根的情况：（1）16x2 – 24x + 9 = 0；（2）3x2 + 10 = 2x2 + 8x；（3） ；（4）解：（1）因为 Δ = (–24)2 – 4×16×9 = 0，所以原方程有两个相等的实数根.（2）原方程可变形为 x2 – 8x + 10 = 0.所以原方程有两个不相等的实数根.因为 Δ = (–8)2 – 4×1×10 = 24 > 0，（3） ；（4）所以原方程有两个不相等的实数根.所以原方程没有实数根.4. 无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 总有两个不相等的实数根吗？说明你的理由.解：原方程可变形为 x2– 5x + (6 – p2) = 0.所以 Δ = (–5)2 – 4×1× (6 – p2) = 1 + 4p2 因为 4p2 ≥ 0，所以 1 + 4p2 ≥ 1 > 0.所以无论 p 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 有两个不相等的实数根.课堂小结 b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即 Δ = b2 – 4ac.当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.课后作业完成练习册本课时的习题。