山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期12月模块诊断数学试卷含解析（word版）

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一、单选题
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
5. 已知圆锥的母线长为8，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知样本数据：，，a，，的方差为0，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
7. 若，记，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ）
A. B. 点为的重心
C. D.
10. 在中，，则（ ）
A. B. 的面积为8
C. D. 的内切圆半径是
11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，已知，，，当底面水平放置时，水面位置满足，容器内有水部分的几何体体积是，下列命题正确的是（ ）
A. 固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形
B. 固定容器底面一顶点于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥
C. 体积为，高为的圆锥不能放在半径是的球体内
D. 体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转
三、填空题
12. 已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为，则________．
13. 已知等差数列前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为___________．
14. 若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是_________
四、解答题
15. 已知点关于坐标原点对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求C的方程；
（2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积．
16. 已知数列前n项和为，，当时.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记表示不超过x的最大整数，，求数列前100项和.
17. 已知平行六面体底面为正方形，所有棱长为2，点和O分别为上、下底面的中心，且．
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．
（1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；
（2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望；
（3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益．
19. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数
（1）若，求的值；
（2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：：
（3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由.