山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期8月模块诊断（总第二次）数学试题含答案解析

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数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李倩
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．样本数据2，3，6，8，9，10的中位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
5．在中，， 则这个三角形的最大内角为（ ）
A．B．C．D．
6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．132B．88C．44D．33
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线可由抛物线平移得到，若抛物线的焦点为，点在抛物线E上且，则点到轴距离为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ）
A．B．的渐近线方程是
C．的焦距为D．的离心率为
10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是公差为2的等差数列
C．D．数列是等比数列
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．为偶函数
C．为单调递增函数D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，则 .
13．已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是 ．
14．将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最值．
16．（本小题满分15分）已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积．
（本小题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，，且，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）已知函数，为的导函数.
(1)若，讨论在上的极值点个数；
(2)设函数，若恒成立．
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：．
19．（本小题满分17分）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬传统文化，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动．
(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为、两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠．抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片，其中张写有字母，张写有字母，张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽次，直至取到写有或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率；
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜都适合，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条.记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为．
（i）若，求；
（ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度（），求的最大值及取最大值时的值．
（取）