河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3B．-3C．9D．-9
2．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在、轴截距相等的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．直线在轴上的截距为
D．过点并且倾斜角为的直线方程为
4．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为
A．B．C．D．
7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
10．下列选项正确的是（ ）
A．若直线与平行，则与的距离为
B．过点且和直线平行的直线方程是
C．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）
A．点的轨迹的方程是
B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1
C．直线与点的轨迹相离
D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3
三、填空题
12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
13．圆与圆的公共弦长为 .
14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为 ，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是
四、解答题
15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
16．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
(1)用，，表示，，；
(2)求的长；
(3)求异面直线与所成角的余弦值.
17．已知圆，过点作直线交于，两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程．
18．如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)设二面角的大小为，若，求的值；
(3)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模.
19．在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线.

(1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程;
(2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标;
(3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积.
1．D
运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
2．A
利用空间向量加法法则直接求解.
【详解】因为，所以．
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A.
3．C
对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断A选项；
求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断B选项；
利用直线截距的定义可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线过原点，设该直线的方程为，则，
此时，所求直线的方程为，
若直线不过原点，设所求直线方程为，则，可得，
此时，所求直线方程为.
综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；
对于B选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，B错；
对于C选项，直线在轴上的截距为，C对；
对于D选项，过点并且倾斜角为的直线方程为，D错.
故选：C.
4．D
圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，
又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.
故选：D
5．B
根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】方程表示双曲线，，解得：或，
即的取值范围为.
故选：B.
6．B
化简得到，直线过定点，画出图像，根据图像得到答案.
【详解】，即，直线过定点，
画出图像，如图所示：
当直线与半圆相切时，，，.
此时斜率为，根据图像知.
故选：.
7．A
由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.
【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆的方程配方得：，圆心，半径为，
圆同理化为，圆心，半径为，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得
动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，
故，，，.
故选：A.
8．A
根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可.
【详解】如图所示：

由题意得，又，则，
因为，，则，，故，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，化简得，即，解得.
故选：A.
9．ACD
根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D.
【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对B，若，则，故B错误.
对C，假设共面，则，
因为向量组是空间的一个基底，
所以不存在实数，使得成立，故不共面，
即也是空间的一个基底，故C正确.
对D，因为，且，
所以四点共面，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可.
【详解】对于A，因为直线与平行，
所以，解得，此时直线为，即，
由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确，
对于B，将点代入中，
发现，故该点不在直线上，
即过点且和直线平行的直线方程
不可能是，故B错误，
对于C，当时，直线可化为，
直线为，此时两直线也互相垂直，
所以“”不是“直线与直线互相垂直”
的必要不充分条件，故C错误，
对于D，直线的斜率为，则，
当时，的取值范围是，当时，的取值范围为，
故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确.
故选：AD
11．ACD
根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可.
【详解】对于A,设，已知，，且.
根据两点间距离公式，.
则.两边平方可得.
展开整理得，配方可得，所以A选项正确.
对于B,点到圆心的距离为.
圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误.
对于C,圆心到直线的距离.
因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确.
对于D,四边形的面积，因为.
要使面积最小，则最小，即圆心到直线的距离与半径的关系.圆心到直线的距离.
.
所以四边形面积最小值，D选项正确.
故选：ACD.
12．
结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解.
【详解】空间向量，
则，，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13．
【解析】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可.
【详解】将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为.
圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为，
因此，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
14．
【详解】设，则，
若，则；若，则；
若，则；若，则，
由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），
由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.
椭圆，对应，，
要使椭圆上有且仅有8个点满足，
根据对称性，由方程组有两个解，且，
所以，整理得，
，
解得，
所以.
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【详解】（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
16．(1)，，
(2)
(3)
（1）利用空间向量基本定理即可；
（2）利用模长公式求解即可；
（3）利用向量夹角公式求解即可
【详解】（1），
，
，
（2），，，
，，，
因为
，
所以，即的长为；
（3）因为，，
同理可求得，，
又因为
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
17．(1)或
(2)
（1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解；
（2）设，利用中点关系结合在圆上即可求解动点的轨迹方程．
【详解】（1）圆，圆的半径，圆心，
直线与圆心的距离，
若斜率不存在，即，圆心到直线距离，
与圆无交点，不符合题意；
若斜率存在，设直线，即，
由，解得，
直线的方程为，
即或．
（2）设，，点是线段的中点，
，即①，
又点在圆上，，
将①代入得，整理得，
点的轨迹方程为：．
18．(1)
(2)
(3)是，
（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出点的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合可得出的值；
（3）求出异面直线、的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线、间的距离.
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以、、、、.
若，即为中点，则，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
（2）因为，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，则，
令，得，所以平面的一个法向量为.
因为二面角的大小为，且，
得，
整理得，解得，或（舍），所以.
（3）由（2）得，故，.
设与直线、都垂直，
所以.
令，可得，，即.
又，所以异面直线和间的距离为.
故异面直线和间的距离为定值.
19．(1)
(2)；
(3)
（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程；
（2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标；
（3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积.
【详解】（1）由已知得，又，
且直线过点，
的方程;
（2）（2）设直线的斜率分别为，
则.
得（负值舍去），
当时，
直线的方程为，直线的方程为
联立得；故所求为；
（3）设，
得的轨迹方程为:
由图形的对称性，不妨设在轴上方，则
，得，即此时的纵坐标为
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
D
B
B
A
A
ACD
AD
题号
11









答案
ACD