高中物理人教版 (2019)必修 第三册电势差与电场强度的关系练习

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物理观念：通过试探电荷在匀强电场中做功从而建立电场强度与电势差的关系。
科学思维：通过推导电场强度与电势差的关系，培养学生的分析能力和推理能力。
科学探究：在教师的引导下通过学生的推导电场强度与电势差的关系，使学生掌握U=Ed和E=U/d的物理意义。
科学态度与责任：通过从不同角度认识电场强度与电势、电势差的关系，使学生在遇到具体问题时要注意分析，不要武断地下结论，使学生养成多角度多方面看问题的学习品质。
【教学重难点】
教学重点
U=Ed及其成立条件。
教学难点
电场强度的大小为什么等于两点间的电势差与这两点沿电场方向的距离的比值问题。
知识点一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．两个关系式：
（1）U＝Ed，由该式可知：在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．
（2）E＝，由该式可知：
①在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．
②电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
③电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C.
2．式U＝Ed、E＝中各字母的物理意义：
U匀强电场中两点的电势差的绝对值，E是匀强电场的电场强度的大小，d是匀强电场中这两点在电场强度方向上的距离或是匀强电场中过这两点的等势面间的距离。
3．公式U＝Ed、E＝的适用条件都是匀强电场．
5．说明：
（1）应用公式U＝Ed、E＝计算出来的U是电势差的绝对值，计算出来的E只是电场强度的大小。
（2）Ｕ的正负号、E的方向可用下列知识判断
沿着电场线方向（电场强度方向 ）电势越来越低；电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
6．三个电场强度公式的比较
【经典例题1】如图所示，a、b、c、d为匀强电场中四个等势面，相邻等势面距离为2cm，已知 。
（1）设B点电势为零，求A、C、D、P的电势；
（2）将的点电荷由A移到D，求电场力所做的功
【答案】 （1）30V、、、0V；（2）。
【解析】
（1）AC间的距离为4cm，则
故匀强电场的场强为；
根据A点的电势大于C点的电势，知电场强度的方向水平向右，
因为，则 ；，则 ，
P点与B点等电势，所以，故A、C、D、P点的电势分别为：30V、、、0V
（2）经过计算可知
。
故点电荷由A移到D电场力所做的功为。
【变式训练1】如图所示，匀强电场的场强E=3×105V/m，A、B两点相距0.2m，两点连线与电场的夹角是60°，下列说法正确的是（ ）
A．电荷量 的电荷从A点运动到B点电势能增大6J
B．电荷量的电荷从A点运动到B点电场力做功为-6J
C．若取A点的电势为0，则B点的电势
D．A、B两点间的电势差是
【答案】 B
【解析】
A．从A到B，电场力做功
电场力做正功，则电势能减小6J，故A错误；
B．从A到B，电场力做功
故B正确；
CD．A、B间的电势差
因为A点的电势为0，则B点的电势为
故CD错误。
故选B。
知识点二、求电势和电势差的方法 用等分法确定等势线和电场线
1、求电势的方法：
（1）应用定义公式＝eq \f(Ep,q)来求电势。
（2）应用式UAB＝A－B来求电势。
2、求电势差的方法
（1）应用定义式UAB＝A－B来求解．
（2）应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解．
（3）应用关系式U＝Ed来求解．
注意：式U＝Ed只能用来计算匀强电场中两点电势差的大小，电势差的正负号则需要通过其他知识来判断。
3、用等分法确定等势线和电场线
（1）在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq \f(φA＋φB,2)，如图甲所示．
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如图乙所示．
（2）确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
【经典例题2】匀强电场中有、、三点。在以它们为顶点的三角形中，，。电场方向与三角形所在平面平行。已知、和点的电势分别为、和。该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）
A．、B．，
C．，D．、
【答案】 B
【解析】
取的中点，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为，故为等势线，其垂线为电场线，方向为。外接圆上电势最低点为点，最高点为点。如图
设外接圆半径为，则有
，
则有
故
则点电势为0，为最低电势点；同理点电势为，为最高电势点。
故选B。
【变式训练2】如图所示，匀强电场中的六个点A、B、C、D、E、F为正八面体的六个顶点，已知BE中点O的电势为零，A、B、C三点的电势分别为7V、、3V，则E、F两点的电势分别为（ ）
A．2V、B．1V、
C．1V、D．、
【答案】 B
【解析】
在匀强电场中，由公式知，沿着任意方向前进相同距离，电势差必定相等。由
有
得
由于AC与EF平行，且
有
得
故选B。
知识点三、利用E＝eq \f(U,d)定性分析非匀强电场
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
1．在非匀强电场中，公式U＝Ed中的E可理解为距离为d的两点间的平均电场强度．
2．当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密．
3．距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小．
【经典例题3】真空中某区域存在一静电场，其电场线分布如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，下列说法正确的是（ ）
A．O点电势与Q点电势相等
B．O、M间的电势差大于N、O间的电势差
C．M点场强与N点场强相同
D．在Q点释放一个电子，电子将沿圆弧运动
【答案】 B
【解析】
C．电场线的疏密表示电场强度的大小，M点的场强大于N点的场强，选项C错误；
B．因为OM=ON，ON处的电场强度小于OM处的电场强度，所以O、M间的电势差大于O、N间的电势差，选项B正确；
A．沿电场线方向，电势逐渐降低，等势面与电场线垂直，所以O点的电势高于Q点，选项A错误；
D．根据电子在电场中的受力方向与运动方向的关系可知，在Q点释放一个电子，电子不沿圆弧运动，选项D错误。
故选B。
【变式训练3】如图所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和场强，可以判定（ ）
A．φa>φb>φcB．Ea>Eb>Ec
C．φa–φb=φb–φcD．Ea=Eb=Ec
【答案】 A
【解析】
A．沿电场线方向电势降低，则
故A正确；
BD．只有一条电场线，不能确定电场线的分布情况，无法比较场强的大小，故BD错误；
C．对于匀强电场，两点间的电势差，由于电场线的疏密情况无法确定，则两点间电势差的公式也不能适用，不能判断电势差的关系，故C错误。
故选A。
知识点四、图像和图像
1．电场中电势随位置x变化的情况可用图像来表示，在图像中切线的斜率表示了电场的电场强度，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负号表示了电场强度的方向。
2．电场中电场强度随位置x变化的情况可用图像来表示，在图像中图线和坐标轴围成的面积表示了电势差，其面积的数值表示了电势差的大小，电势差的正负及电势的高低可以根据电场强度的方向来判断。
【经典例题4】两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法正确的是（ ）
A．q1、q2为等量异种电荷
B．N、C两点间场强方向沿x轴负方向
C．N、D两点间的电场强度大小沿x轴正方向先减小后增大
D．将一正点电荷从N点移到D点，电势能先增大后减小
【答案】 C
【解析】
A．根据q1左侧和q2右侧电势随距离增大而降低可判断两者均为正电荷，故A错误；
B．N、C间的电场方向沿x轴正方向，C点场强为0，故B错误；
C．根据N→D间图线的斜率大小先减小后增大可知，场强先减小到零后反向增大，故C正确；
D．正电荷从N移到D，由Ep＝qφ知，电势能先减小后增大，故D错误。
故选C。
【变式训练4】（多选）空间有一沿轴对称分布的电场，其电场强度随变化的图像如图所示，轴正方向为电场强度的正方向。下列说法中正确的是（ ）
A．该电场可能是由一对分别位于和两点的等量异种电荷形成的电场
B．和两点的电势相等
C．正电荷从运动到的过程中电势能先增大后减小
D．原点与两点之间的电势差大于与两点之间的电势差
【答案】 BD
【解析】
A．根据等量异种电荷形成电场的特点可知，在等量异种电荷的连线上，各点的电场强度的方向相同，而题图中电场强度的大小和方向都沿轴对称分布，所以该电场一定不是由一对分别位于和两点的等量异种电荷形成的电场，故A错误；
B．E-x图像与x轴所围的面积表示电势差，则由题意可知
即
所以
故B正确；
C．由题图可知，从到电场强度方向始终为正，则正电荷运动的方向始终与电场强度方向相同，所以静电力做正功，电势能逐渐减小，故C错误；
D．由
可得
又因为
所以
故D正确。
故选BD。
题组A 基础过关练
1．如图所示，a，b，c，d是某电场中的四个等势面，它们是互相平行的平面，并且间距相等，下列判断中错误的是（ ）
A．该电场一定是匀强电场
B．相邻两个等势面间电势差一定相等
C．如果，则电场强度
D．如果，则电场方向垂直于等势面由b指向a
【答案】 C
【解析】
A．等势面是平行平面而且均匀分布，则电场线平行同向，均匀分布，该电场一定是匀强电场，故A不符合题意；
B．由图判断出电场方向垂直于等势面，由公式可知，沿着电场线方向，相同距离电势差相同，故B不符合题意；
C．匀强电场，电场强度处处相同，故C符合题意；
D．根据电场线总和等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，故D不符合题意。
故选C。
2．如图所示，、、为电场中同一条水平方向电场线上的三点，为的中点，、电势分别为、。下列叙述正确的是（ ）
A．该电场在点处的电势一定为
B．点处的场强一定大于点处的场强
C．一正电荷从点运动到点电势能一定减少
D．一正电荷运动到点时受到的静电力由指向
【答案】 C
【解析】
AB．该电场的电场线分布情况不明，所以在c点处的电势不一定为4 V，a点处的场强Ea不一定大于b点处的场强Eb。故AB错误；
CD．因c点的电势一定高于b点，由公式
易知，一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少。根据“沿电场线方向电势逐渐降低”可得c点的场强方向由a指向c。所以正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c。故C正确，D错误。
故选C。
3．如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa=20 V，φb=50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为（ ）
A．φc=35 VB．φc>35 VC．φc＜35 VD．无法判断φc的高低
【答案】 B
【解析】
由图看出，ac段电场线比bc段电场线密，ac段场强较大，根据公式U=Ed可知，ca间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc，即
φc﹣φa>φb﹣φc
得到
φc>=35 V
故选B。
4．如图中A、B、C三点都在匀强电场中，已知，，。把一个电量的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是（ ）
A．，垂直向右B．，垂直向左
C．，垂直斜向上D．，垂直斜向下
【答案】 C
【解析】
由题意可知A、B两点电势相等，所以AB为一条等势线，如图所示，过C作CD⊥AB于D，则电场强度方向为由D指向C，即垂直于AB斜向上。设电场强度的大小为E，由题意可得
代入数据解得
E=1000V/m
故选C。
5．（多选）下列关于匀强电场中电场强度和电势差关系的说法正确的是（ ）
A．任意两点的电势差，等于电场强度与这两点沿电场方向距离的乘积
B．沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等
C．在相同距离上，电场强度大的两点间电势差也必定大
D．电势降低的方向，必定是电场强度的方向
【答案】 AB
【解析】
A. 任意两点的电势差，等于电场强度与这两点沿电场方向距离的乘积，故A正确；
B. 沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等，故B正确；
C. 在相同距离上，电场强度大的两点间电势差不一定大，要看相同间距的两个点是否沿电场方向；故C错误；
D. 电势降低的最快方向，必定是电场强度的方向，故D错误。
故选AB。
6．（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小为2V/cm
B．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV
【答案】 BD
【解析】
B．如图所示，设ac之间电势差与Ob两点间的电势差相等，即
可得
故B正确；
A．电场沿着x轴方向电场分量
电场沿着y轴方向电场分量
因此电场强度
故A错误；
C．电子在a点具有的电势能
电子在b点具有的电势能
因此
电子在a点的电势能比在b点的高7eV，故C错误；
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为
所以电子从b点运动到c点，电场力做功为9，故D正确。
故选BD。
题组B 能力提升练
7．x轴上有两点电荷和，和之间线上各点电势高低如图中曲线所示（），选无穷远处电势为0，距电荷量为的点电荷处的电势为，从图中可以看出（ ）
A．电荷量一定小于电荷量B．点电场强度是0
C．和之间线上各点电场方向都指向D．、可能是同种电荷
【答案】 C
【解析】
D．附近电势大于零，而附近电势小于零，可知带正电荷、带负电荷，故D错误；
B．该图象的斜率大小等于场强，P点电势为零，P点图象的斜率不等于零，则电场强度不为零，故B错误；
C．根据顺着电场线方向电势降低，可知两电荷之间连线上各点的场强方向都指向x轴的正方向，故C正确；
A．由
可知，在点电势为
在点电势为
而点电势为0，则有
故
故A错误。
故选C。
8．下列图中，A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10V，φB＝2V，φC＝6V，A、B、C三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】 D
【解析】
据题，A、B、C三点的电势分别，，，因为匀强电场中沿电场线方向相同距离电势差相等，则A、B两点连线中点的电势为
因此该中点与C点的连线为等势线，那么与此连线垂直的直线即为电场线，由于，，又因为沿着电场线电势降低，所以电场线方向垂直于的中点与C点连线向下，故选D。
9．如图所示，在一个匀强电场中有一个三角形，的中点为M，的中点为N。将一个带正电的粒子从A点移动到B点，电场力做功为。则以下分析正确的是（ ）
A．若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功有可能小于
B．若将该粒子从M点移动到N点，电场力做功有可能大于
C．若A、B之间的距离为，粒子的电荷量为，该电场的场强大小一定是
D．若粒子的电荷量为，则A、B之间的电势差为
【答案】 D
【解析】
AB．在匀强电场中沿相同方向移动同种电荷，电场力做功的正、负相同，M、N分别为、的中点，因此长度为的一半，无论电场强度方向如何，M、N间电势差为A、B间电势差的一半，则有
所以AB错误；
C．由于电场强度方向未知，当电场强度沿方向时，电场强度最小，由
可知最小场强
所以匀强电场的场强
所以C错误；
D．若粒子的电荷量为，由
得A、B间的电势差为
所以D正确；
故选D。
10．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V。设电场强度大小为E，电量为1×10-6C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（ ）
A．W=8×10-6JB．W=6×10-6JC．E≥8V/mD．E＜8V/m
【答案】 A
【解析】
AB．由题匀强电场中，由于D为AB的中点，则D点的电势
电荷从D点移到C点电场力所做的功为
故A正确B错误；
CD．AB的长度为1m，由于电场强度的方向并不是沿着AB方向，所以AB两点沿电场方向的距离d