江苏省南京市七校2026届高三上学期12月期中学情调研 数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市七校2026届高三上学期12月期中学情调研 数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{－1，1}，N＝{x| eq \f(1,4)＜2x＜1}，则M∩N＝ ( )
A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．(－2，0)
2．已知样本数据5，6，6，7，8，9，10，12，则该组数据的第60百分位数为 ( )
A．6B．7C．8D．9
3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－3b，则cs＜a，c＞＝ ( )
A．B．C．D．
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝ eq \f(π,3)，∠BAC的角平分线交BC于D，
则AD＝ ( )
A． eq \f(\r(,3),3)B． eq \f(2\r(,3),3)C． eq \r(,3)D． eq \f(4\r(,3),3)
5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝12，若数列{ eq \f(6n＋12,an)}也是等差数列，则
a3＝ ( )
A．24B．20C．18D．15
清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.
已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为2.5dm，下底也为正方形，内边长为5dm，斛内高3.6dm，那么一石米的体积大约为 ( )

A．52.5dm3B．55dm3C． 105dm3D． 110dm3
已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0) (c＞0)，若过F1的直线和 圆x2＋y2－cx＝0相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是
( )
A． eq \f(\r(,2),2)B． eq \f(\r(,3),3)C． eq \f(\r(,10)－1,3)D． eq \f(\r(,5),5)
8．定义在R上的函数f(x)＝ eq \f(a2x－1,a2x＋1)，f( eq \f(1,2))＝ eq \f(1,2)，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞ eq \f(1,4)的解集为
( )
A．(－ eq \f(3,2)，－ eq \f(1,2))B．(－ eq \f(3,2)，－1)∪(－1，－ eq \f(1,2))
C．(－∞，－ eq \f(3,2))∪(－ eq \f(1,2)，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z，其中i为虚数单位，下列说法正确的是 ( )
A．若复数z满足1＋iz＝2i，则z的实部为2
B．若z－ eq \(z,\s\up6(－))＝0，则z为实数
C．若z2＋ eq \(z,\s\up6(－))2＝0，则z＝ eq \(z,\s\up6(－))＝0
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P是侧面BCC1B1上的一个动点(含边界)，且 eq \(BP,\s\up6(→))＝λ eq \(BB1,\s\up6(→))＋μ eq \(BC,\s\up6(→))(0≤λ≤1，0≤μ≤1)，E，F分别是棱AA1，C1C的中点，则( )

A． 平面D1EF截该正方体所得的截面图形是正五边形
B． 平面D1EF⊥平面BDD1B1
C． 若μ＝0，则|PE|＋|PD|的最小值为 eq \r(,17)
D． 若|AP|＝ eq \r(,5)，则点P的轨迹长度为 eq \f(π,2)
已知函数f(x)＝(x＋1)(x－2)2－1的图象与直线y＝t(t∈R)交于不同的三点A(x1，t)， B(x2，t)，C(x3，t)，且x1＜x2＜x3，则 ( )
A．f(x)的极大值为3 B．t的取值范围为(－1，3)
C．x1x3的取值范围为[－ eq \f(9,4)，0) D．(x3－x1)2的取值范围为(9，12)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs(α－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(,2),10) ，则csα＝________．
13．已知直线l：3x＋4y－5＝0与双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋ty＝0平分，则实数t的值为________．
14．有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记ξ为游戏结束时取球次数，则ξ的数学期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表：
(1)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关；
(2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率．
附χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))
16．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足递推关系an＋1＝3an＋4．
(1)求证：{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝ eq \f(an＋2,an·an＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn，若am＋1·Tm＝39，求m．
17．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为18，AB＝AA1＝2 eq \r(,3)，AC＝6，D，F分别是B1C，B1C1的中点，E是线段A1C1上的动点，且 eq \(A1E,\s\up6(→))＝λ eq \(A1C1,\s\up6(→))，AB⊥平面ACC1A1．
(1)若λ＝ eq \f(1,3)，求证：A1D//平面EFC；
(2)若平面EFC与平面ABB1A1的夹角的余弦值为 eq \f(\r(,15),5)，
求实数λ的值．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，C上有两个不同动点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若直线AB过点F，求证：y1y2＝－p2；
(2)已知定点M( eq \f(p,2)，p)，若线段AF，MF，BF的长度依次成等差数列；
(i)求证：线段AB的垂直平分线经过一个定点Q；
(ii)若(i)中的定点Q到原点O的距离为6，求ΔQAB面积的最大值．
19．已知函数f(x)＝emx，g(x)＝sinx．
(1)当m＝1时，求过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；
(2)当m≥1，x∈[0， eq \f(π,2)]时，求证：f(x)g(x)≥x；
(3)当m＝1时，若正实数x1，x2，…，xn(n≥3)满足 eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))xi＝ eq \f(π,2)，求证： eq \f(π,2)＜ eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(i＝1))f(xi)g(xi)＜．
2025-2026学年12月七校联合学情调研
数学答案
1-8
9 10 11
12 13 14
15.【详解】（1）提出假设课外体育锻炼时间与身体素质无关…………………… 1分
…………………… 6分
所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关…………………………… 7分
（2）记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件………………………………… 8分
则………………………………………………………… 12分
答：恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率…………………………………… 13分
注：也可得分
第（2）中“事件”与“答”有一个即可得2分
16【详解】（1），
，因为2分
所以
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列.4分
可得：
即：6分
（2）由（1）得，.7分
则，10分
所以.
13分
由an＋1·Tn＝39，
得
所以，解得.15分
【详解】（1）连接交于点，连接
D，F分别是B1C，B1C1的中点，
是的重心，且………………… 2分
又则
中，且………………… 4分
又
…………………………………… 6分
在面中，作，垂足为点，取中点，连接
，又
又
三棱柱体积，
解得
为中点………………………… 9分
则中，
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系
……………………… 10分
则，，，，
，，，，
，，λ∈[0，1]
，
设面的法向量为
则代入得取得……………… 11分
设面的法向量为，，
则代入得取得
…………………… 13分
设平面EFC与平面ABB1A1的夹角为

化简得解得或
或 …………………… 15分
18. 【详解】（1）显然直线AB的斜率不为0，又，所以可设直线AB：
联立消得 ………………………………2分
由韦达定理得 ………………………………3分
（2）（i）证明：设，则由已知及抛物线定义得
，即……5分
当时，的垂直平分线方程为,
令，得
所以的垂直平分线经过一个定点 ………………………………8分
当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点
综上，的垂直平分线经过一个定点 …………………………9分
（ii）由题意，，解得，………………………………………………10分
所以，，
令，则的中点,
当时，，联立消得
且依题意，解得且，且
由弦长公式得
又Q到AB的距离
所以 …………………………13分
方法一:

当且仅当,即时取等号,
所以 …………………………16分
方法二:令,则
记,令得
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以 ………………………16分
当时，线段的中点,由对称性知为通径,不妨取
则
综上得,此时或 ……17分
19.【详解】（1）设切点,
在切点处切线的斜率为
切线方程为，分
因为过原点，得，解得
所以切线方程为 分
（2）设，，
则
设，，
则 分
当，则，
则函数在上单调递增，则，即
因此函数在上单调递增，
故，所以分
（3）由（2）可知，当且时，
故分
当时，设，，
令，则，
故在上单调递增，分
设，其中，且，
则，因此在上单调递增，
从而，
则，分
进而可知
故.即分
以上答案仅供参考，若有其他解法，请酌情给分！！！课外体育锻炼
组别 时间
达标
不达标
合计
身体素质强
860
40
900
身体素质弱
40
60
100
合计
900
100
1000
P(χ2≥k)
0.005
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828