2025-2026学年上海市闵行区文来中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题2分，共12分）.
1．下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是
A．和B．和C．和D．和
3．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．负数没有立方根
C．64的立方根是D．的算术平方根是5
4．在△中，、、的对边分别是，，．下列条件中，不能说明△是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在△中，．线段、分别为△的高和中线，下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．（3分）比较大小： （填“”或“” ．
8．（3分）化简： ．
10．（3分）关于的一元二次方程的一个根为5，则的值为 ．
11．（3分）不等式的解集是 ．
12．（3分）在实数范围内因式分解： ．
13．（3分）将化成分数是 ．
14．（3分）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ．
15．（3分）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是 ．
16．（3分）如图，点是等边△内一点，，，，则的值为 ．
17．（3分）如图，在△，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ．
18．（3分）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ．
三、计算题：（共2小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（16分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
四、解答题：（共5题，21-22每小题4分，23-24每小题4分，25题8分，共28分.）
21．（4分）已知关于的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求的值．
22．（4分）已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
23．（6分）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
24．（6分）已知：如图，，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（8分）已知△和△均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）．
（1）如图1，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系： ；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由；
（3）若，点是中点，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题2分，共12分.）
1．下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
解：．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．方程，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
2．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是
A．和B．和C．和D．和
解：、，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
、，被开方数是2，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
、，被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
、和的被开方数分别是、，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
3．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．负数没有立方根
C．64的立方根是D．的算术平方根是5
解：（1），4的平方根是，
选项不符合题意；
负数也有平方根，
选项不符合题意；
的立方根是4，
选项不符合题意；
，25的算术平方根是5，
选项符合题意，
故选：．
4．在△中，、、的对边分别是，，．下列条件中，不能说明△是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：、，且，所以，故△不是直角三角形；
、因为，即，且，所以，解得，故△是直角三角形；
、因为，所以，故△是直角三角形；
、因为，设，，，，故△是直角三角形．
故选：．
5．如图，在△中，．线段、分别为△的高和中线，下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
解：线段为△的高，
，
，
，
，故选项正确，不符合题意；
在△中，，为△的中线，
，
，
，
，故选项正确，不符合题意；
，
，故选项正确，不符合题意；
根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项错误，符合题意；
故选：．
6．如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
解：如图，，设、相交于点，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
故结论①正确；
△△，
，
，，
，
故结论②正确；
过点作，，垂足分别为，，
△△，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
平分，
故结论④正确；
不能证明平分，
故结论③错误；
综上所述，一定正确的结论有①②④，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．（3分）比较大小： （填“”或“” ．
解：，，
，
故答案为：．
8．（3分）化简： ．
解：，
故答案为：．
10．（3分）关于的一元二次方程的一个根为5，则的值为 ．
解：由条件可知，
解得．
故答案为：．
11．（3分）不等式的解集是， ．
解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：，
故答案为：．
12．（3分）在实数范围内因式分解： ．
解：在实数范围内因式分解：令，
解得或
，
故答案为：．
13．（3分）将化成分数是 ．
解：设，
则，
那么，
即，
解得：，
即将化成分数是，
故答案为：．
14．（3分）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ．
解：设每次降价的百分率是，
原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，
，
，（舍去），
每次降价的百分率是．
故答案为：．
15．（3分）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是 ．
解：设点表示的数为，则，
解得，
点表示数：，
故答案为：．
16．（3分）如图，点是等边△内一点，，，，则的值为 ．
解：将线段以点为旋转中心逆时针旋转．得到线段，连接，，
△是等边三角形，
，，
，，
△△，
，
根据旋转的性质可知△是等边三角形，
．
在△中，，，，
△是直角三角形，，
△面积为，
过点作于点，则，
．
等边面积为．
四边形的面积为，
，
故答案为：．
17．（3分）如图，在△，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 3 ．
解：平分，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，，
，
故答案为：3．
18．（3分）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为 ．
解：方程有两个根和，
，，
设方程的为，，
则，，
，，
，
方程的两根为，，
，
，，
，
方程的较小根的范围为．
故答案为：．
三、计算题：（共2小题，每小题8分，共24分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
20．（16分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
，
，
，
则或，
所以，；
（2），
，
，
，
则，
所以；
（3），
，
，
，
则或，
所以，．
当时，，
所以是原方程的增根，故舍去．
当时，，
所以原方程的解为；
（4），
，
，
，
，
则或，
所以，，
当时，，
所以是原方程的增根，故舍去．
当时，，
所以原方程的解为．
四、解答题：（共5题，21-22每小题4分，23-24每小题4分，25题8分，共28分.）
21．（4分）已知关于的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求的值．
解：，是一元二次方程的两根，
由根与系数关系得，，
，
，
，即，
解得，，
△，
．
22．（4分）已知，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
解：（1）利用分母有理化将，化简可得：
，
，
，，
；
（2），，
，
，
．
23．（6分）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
解：设垂直于墙的一边为米，
根据题意得：，
整理得：，即，
分解因式得：，
解得：，，
当时，平行于墙的一边为米米，
故米不符合题意，舍去；
当时，平行于墙的一边为米米，
答：仓库的长是15米，宽是6米．
24．（6分）已知：如图，，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接、，
，是的中点，
，
是的中点，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，，
，
，
，
△是等边三角形，
．
25．（8分）已知△和△均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）．
（1）如图1，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系： ；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由；
（3）若，点是中点，请直接写出的值．
解：（1），，三者之间的数量关系：；理由如下：
如图，△和△均为等腰直角三角形，，连接，
，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
△为直角三角形，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立；
证明：△和△均为等腰直角三角形，，
，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
△为直角三角形，
，
即；
（3）的值为或．理由如下：
设，则，
当点在线段上时，如图3，
，
由（1）知：，
，
△和△均为等腰直角三角形，，点是中点，
，，
由勾股定理得：，，
，，
；
当点在线段的延长线上，如图4，
，
△和△均为等腰直角三角形，，
，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，即△为直角三角形，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，，，点是中点，
，，
，，
；
当点在线段的延长线上时，，不符合题意；
综上所述，的值为或．