陕西省汉中市十校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省汉中市十校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．点关于xOy平面的对称点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（ ）
A．7B．6C．5D．4
5．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆与圆相交，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
8．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（ ）
A．C的方程为B．的周长为8
C．的最大值为6D．当A为C的上顶点时，
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则（ ）
A．当P，B，C不共线时，三棱锥体积的最大值为1
B．AB与所成角的最小值为
C．当与底面ABCD所成的角为时，BP的最小值为
D．当时，点P的轨迹长度为
三、填空题
12．若方程表示圆，则a的取值范围为 ．
13．已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为 ．
14．如图，双曲线的左焦点为F，过原点O的直线与C交于A，B两点（点A位于第二象限），M为BF的中点，直线OM为C的一条渐近线，且，则C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知向量，．
(1)求与的夹角；
(2)若与互相垂直，求实数t的值．
16．已知圆M经过三点，，，O为坐标原点．
(1)求圆M的标准方程；
(2)过原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，点M满足．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小；
(3)求点A到平面的距离．
18．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点．
(1)求C的方程；
(2)若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补．
（ⅰ）求直线所过定点的坐标；
（ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆．
19．如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．

(1)证明：；
(2)求三棱柱体积的最大值；
(3)当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围．
1．C
根据空间点关于平面的对称点特点即可得到答案.
【详解】点关于xOy平面的对称点是，
所以点关于xOy平面的对称点的坐标为．
故选：C．
2．C
根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为椭圆方程为，
所以，所以.
所以焦点坐标为.
故选：C.
3．A
由向量的线性运算可得结果.
【详解】.
故选：A.
4．A
根据抛物线方程的定义即可得到答案.
【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5，
所以点到直线的距离为7．
故选：A．
5．D
设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可.
【详解】设的坐标为，则，
整理得，故点的轨迹方程为．
故选：D．
6．C
根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可.
【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，．
若圆和圆相交，则，解得或．
故选：C．
7．B
利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可.
【详解】设，两点的坐标分别为，，则，
又两式作差得，
故，所以，解得．
此时椭圆方程为，联立直线方程有，
，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意.
故选：B．
8．B
由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果.
【详解】由，得，
所以．
由四点共面，知，解得．
又，，
∵，
∴
．
故选：B．
9．AC
先分析直线斜率不存在情况，再设点斜式，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】由题知圆的圆心为，半径为2．
①当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为．
综上直线的方程为或．
故选：AC．
10．ABD
对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长.
【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确；
对B，的周长为，B正确；
对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误；
对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则，
，则，则，
在中，由余弦定理，得，解得，
所以，D正确．
故选：ABD．

11．BC
建立合适的空间直角坐标系，分析出面积最大时，三棱锥体积最大即可判断A；根据线线角的向量表示并结合函数单调性即可判断B；找到点的轨迹即可得到最小值；根据计算得，则得到其轨迹长.
【详解】对A，如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设点的坐标为，则．
当点在上时，的面积最大，为，
所以三棱锥体积的最大值为，A错误；
对B，，
又，
所以，
当，时取等号，所以与所成角的最小值为，B正确；
对C，连接，由平面，知为与底面所成的角．
由，得，所以点在以点为圆心，2为半径的圆上，
所以的最小值为，C正确；
对D，由，得，整理得，令，则，令，则，
所以点的轨迹长度为，D错误．
故选：BC．
12．
根据一般方程表示圆可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为方程表示圆，则，解得，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.
13．
根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标为.
故答案为：
14．
根据双曲线对称性和定义得，再利用余弦定理即可得到的齐次方程，从而得到离心率.
【详解】设的右焦点为，连接，，
因为，分别是，的中点，所以．
又直线是的一条渐近线，所以，．
由双曲线的对称性，得．由，得．
又，所以．
在中，由余弦定理得，整理得，
所以的离心率．
故答案为：.
15．(1)；
(2)．
（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解.
（2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解.
【详解】（1）由，得，
则，，，
因此，而，
则，所以与的夹角为.
（2）依题意，，，由与互相垂直，
得，即，
所以.
16．(1)
(2)或．
（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可得到方程，再转化为标准圆方程即可；
（2）首先验证斜率不存在的情况，再设，根据弦长公式得到方程，解出即可.
【详解】（1）设圆的一般方程为，其中，
代入，，三点的坐标，得
解得.
所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为．
（2）若直线的斜率不存在，令，得，
则直线被圆截得的弦长为，不合题意；
直线的斜率存在，设直线的方程为，
由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，
即，解得，
故直线的方程为或．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图，连接，交于点，连接．
因为，，则，故．
又，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）∵平面，平面，平面，
∴，，
又∵，，∴
故以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设平面的一个法向量为，
则故可取，
因，
而，则，
由图知，平面与平面所成的二面角为钝二面角，
故该二面角的平面角应为．
（3）由（2）知，平面的一个法向量为，
故点到平面的距离为．
18．(1)
(2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题知，设两点的坐标分别为，
显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，
联立方程消去整理得，
则，，，
所以，
所以，解得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为，
令，得，即点的坐标为，
由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
故直线过定点．
（ⅱ）设点的坐标为．
联立方程消去后整理得，故，
由（1）知，，
直线的斜率为，同理可得直线的斜率为．
又，
所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上，
同理可得点在以线段为直径的圆上，
故，，，四点共圆．

19．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【详解】（1）在直三棱柱中，平面平面，
所以．
又，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）设，，则，且，
因为，
则，当且仅当时，等号成立．
则三棱柱的体积，
所以三棱柱的体积的最大值为．
（3）由（2）知当三棱柱的体积取得最大值时，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设，则，
所以．
令，
令，
因为，所以，所以，，
所以直线与所成角的余弦值的取值范围为．