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2023-2024学年河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省高三上学期1月大数据应用调研联合测评数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|x+2x−1>0}，B={x|x≤1}，则A∩(∁UB)=( )
A. {x|−2≤x<1}B. {x|−21}
2.若复数z=1+i2023(i为虚数单位)，则复数z2−2在复平面上对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a=(59, 32)，b=(−49,− 32)，c=(−1, 3)，则向量c在向量a−b上的投影向量为
( )
A. (12, 32)B. (−12, 32)C. ( 32,12)D. (− 32,12)
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5S10=13，则S10S20=( )
A. 37B. 310C. 311D. 314
5.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]=6，[−4.1]=−5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=lg2(−x2+x+2)，则当x∈[0,1]时，[f(x)]的值域为( )
A. [2,94]B. {2,94}C. {1}D. {2}
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，G为线段B1D1上的动点，则点B到平面GAD距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
7.设实数a>0，若不等式aeax−1≥lnxe对任意x>0恒成立，则a的最小值为( )
A. eB. 2eC. 1eD. 12e
8.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( )
A. 2+ 33B. 1+ 33C. 2 33D. 4 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. 数据11，20，14，17，26，27，9，29，15，30，4的第75百分位数为30
B. 已知随机变量X服从二项分布B(n,23)，若E(2X−1)=7，则n=6
C. 已知回归直线方程为y=bx+9，若样本中心为(−3,24)，则b=−5
D. 若变量x和y之间的样本相关系数为r=0.9989，则变量x和y之间的正相关性很小
10.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A. φ=π4，函数f(x)的最小正周期为π
B. f(π24)= 3
C. 方程f(x)=sin(2x+π4)(x∈[0,π])的解为3π8，7π8
D. f(2)11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于两个不同的点A，B，则下列说法正确的有( )
A. 当p=2，k=12时，|FA|+|FB|=16
B. k∈(−1,1)
C. 若直线AF，BF的倾斜角分别为α，β，则α+β=π
D. 若点A关于x轴的对称点为点A′，则直线A′B必恒过定点
12.已知函数ℎ(x)=1axex+x2，若函数g(x)=2aex+2x−1的图象与ℎ(x)的图象有两个不同的交点，则实数a的可能取值为( )
A. −3B. ln12C. ln2D. 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知tanα=3，则sin(2α+5π2)+sin(2α−π)= ．
14.已知函数y=ax−2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny=2上，其中m>0，n>0，则2m+13n的最小值为 ．
15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有 种安排方案.(用数字作答)
16.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M在DC上，且DM= 2，动点P在正方形ABCD内运动(含边界)，若|D1P|= 5，则当|B1P|取得最小值时，三棱锥B1−MPB外接球的半径为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足a12+a222+a323+⋯+an2n=n．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=lg2an，求数列{1bn⋅bn+1}的前n项和．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角C的平分线与边AB交于点D，且满足1−cs2BcsA=sin2B1+sinA．
(1)若AB= 3AC，求角C;
(2)若CD=2，求证：cs(B2+π4)=1AC+1BC．
19.(本小题12分)
如图1，已知正三角形ABC边长为4，其中AD=3DB，AE=3EC，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A′处，使得平面A′BC⊥平面DBC，M为A′C中点，如图2．
(1)求异面直线A′D与EM所成角的余弦值;(2)求平面A′BC与平面DEM夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=max+x2−xlna+n(a>1)，m，n为常数，过曲线y=f(x)上一点P(0,1)处的切线与y轴垂直．
(1)求m，n的值及f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1为圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线AA1，AA2的斜率之积为−34．
(1)求椭圆E的方程;
(2)点P是直线l:x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N．
①求证直线MN恒过定点，并求出此定点;
②求△PMN面积的最小值．
22.(本小题12分)
在信息论中，熵(entrpy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用Sℎ、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sℎ的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用lg2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德⋅艾尔伍德⋅香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯⋅麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ所有取值为1，2，⋯n，定义ξ的信息熵H(ξ)=−i=1nPilg2Pi(i=1nPi=1,i=1,2,⋯,n)．
(1)若n=2，试探索ξ的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值;
(2)若P1=P2=12n−1，Pk+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，求此时的信息熵．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．
由已知求出∁UB和A，然后求交集即可．
【解答】解：因为A={x|x+2x−1>0}={x|x>1或x<−2}，
B={x|x≤1}，
所以∁UB={x|x>1}，
所以A∩(∁UB)={x|x>1}.
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
化简z，得 z2−2，由复数的几何意义即可求解．
【解答】
解： z=1+i 2023=1−i，
则z2−2=(1−i)2−2=−2−2i，对应点(−2,−2)，在第三象限
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
根据投影向量的计算公式求解．
【解答】
解：因为向量a=(59, 32)，b=(−49,− 32)，c=(−1, 3)，a−b=(1, 3)，
所以向量c在向量a−b上的投影向量为：
|c|cs·a−b|a−b|=c⋅a−b|a−b|2·a−b=24(1, 3)=(12, 32).
4.【答案】B
【解析】【分析】
先根据等差数列的前n项和公式由S5S10=13可得a1与d的关系，再代入到S10S20即可求得答案．
本题主要考查等差数列的前n项和公式．属基础题．
【解答】
解：根据等差数列的前n项和公式得到：
S5S10=13=5a1+10d10a1+45d，
∴a1=3d，
S10S20=10a1+45d20a1+190d=75d250d=310，
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的新定义，对数型函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．
由题意先求出函数的定义域，利用换元法求出函数f(x)的值域，即可利用新定义得出[f(x)]的值域．
【解答】
解：由−x2+x+2>0得x+1x−2<0，解得：−1则f(x)的定义域为x|−1当x∈0,1时，令t=−x2+x+2，
则t=−x2+x+2在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，
所以fx的值域为1,lg294，所以fx的值域为1，
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点面距离，属于一般题．
利用等体积法，由VB−AGD=VG−ABD即可求解．
【解答】
解：由题意得VG−ABD=13×S△ABD⋅BB1=13×12×2×2×2=43，
设点B到平面GAD的距离为ℎ，
则由等体积转化法为VB−AGD=13×S△ADG⋅ℎ=VG−ABD=43，
当G与B1重合时，S△ADG最大，最大为12×2×2 2=2 2，
此时ℎ最小，为 2.故选B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查利用导数研究恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．
将已知条件转化为不等式eaxlneax≥xlnx(x>0)恒成立，令s(t)=tlnt，利用s′(t)研究s(t)的单调性，继而可得eax>x恒成立，则有a≥lnxx，设μ(x)=lnxx，利用μ′(x)研究μ(x)的最小值即可求得a的最小值．
【解答】解：不等式aeax−1≥lnxe等价于ax⋅eax−xlnx≥0(x>0)，
则ax⋅eax−xlnx≥0(x>0)恒成立，即eaxlneax≥xlnx(x>0)恒成立，令s(t)=tlnt，则s′(t)=lnt+1，
当01e时，s′(t)>0，s(t)单调递增，因为a>0，x>0，所以eax>1，
因此若x>1e时，不等式eaxlneax≥xlnx恒成立，则eax>x恒成立，
若0x也成立，
所以当x>0时，eax>x恒成立，则ax≥lnx，即a≥lnxx，
设μ(x)=lnxx，μ′(x)=1−lnxx2，当00，μ(x)单调递增，
当x>e时，μ′(x)<0，μ(x)单调递减，所以μ(x)max=μ(e)=1e，所以a≥1e，即正实数a的最小值为1e，
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆，双曲线的定义以及离心率，基本不等式求最值，属于较难题．
先设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长a 2，焦距2c.因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a 1，a 2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a 1，a 2表示出|AF 1|，|AF 2|，在△F 1AF 2中根据余弦定理可得到：1e12+3e22=4，利用基本不等式可得结论．
【解答】
解：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，
则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2，
∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，
设|F 1F 2|=2c，∠F 1PF 2= π3，
则：在△PF 1F 2中由余弦定理得，
4c 2=(a 1+a 2) 2+(a 1−a 2) 2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cs π3，
∴化简得：a 1 2+3a 2 2=4c 2，
即：1e12+3e22=4．
则e12e12+1+3e22e22+3=11e12+1+33e22+1=11e12+1+33e22+11e12+1+3e22+1
=16×4+3e22+11e12+1+31e12+13e22+1⩾16×4+2 3=2+ 33，
当且仅当3e22+12=31e12+121e12+3e22=1e12+1+3e22+1=6，即e12=3 3+411<1e22=38−3 3>1时取等号，
故选A．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了百分位数，二项分布的期望，回归直线方程，相关系数的概念，属于基础题．
利用百分位数的概念判断A，利用期望公式判断B；利用回归直线方程一定经过样本中心点判断C；利用为正值时，值越大，则“x与y之间的正相关”越强判断D．
【解答】
解：对于A项.11个数的顺序为：4，9，11，14，15，17，20，26，27，29，30，因为11×75％=8.25，所以第75百分位数为27，故A项错误；
对于B项.因为随机变量X服从二项分布B(n,23)，所以EX=np=23n，
所以E(2X−1)=2EX−1=43n−1=7，
解得：n=6，故B项正确；
对于C项.回归直线方程必过样本中心点，则24=−3b+9，解得：b=−5，故C项正确；
对于D项.r为正值时，值越大，判断“x与y之间的正相关”越强，故D项不正确．
故选BC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查正切函数的图象与性质，属于中档题
根据条件求出f(x)的解析式，利用球函数值，以及三角函数的性质，正切函数的单调性逐一判断得出结果．
【解答】
解：由图象知T2=7π8−5π8=π4，即函数f(x)的最小正周期T=π2=πω，则ω=2．
因为f(7π8)=Atan(2×7π8+φ)=0，
则7π4+φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ−7π4,k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π4，
即f(x)=Atan(2x+π4)，故A不正确；
因为f0=1，所以f(0)=Atanπ4=1，即A=1，则f(x)=tan(2x+π4)，
则f(π24)=tan(2×π24+π4)=tanπ3= 3，故B正确；
因为f(x)=sin(2x+π4)，
由f(x)=tan(2x+π4)=sin (2x+π4)cs (2x+π4)=sin(2x+π4)，得sin(2x+π4)=0或cs(2x+π4)=1，
又x∈[0,π]，∴2x+π4∈[π4,9π4]，
∴2x+π4=π或2π，即x=3π8或7π8.故C正确；
由f(x)=tan(2x+π4)，f(12)=tan(1+π4)，f(32)=tan(3+π4)=tan(3−3π4)，
f(2)=tan(4+π4)=tan(4−3π4)，
因为π2<1+π4<3π4,π2<4−3π4<3π4，
1+π4>4−3π4，且y=tanx在(π2,3π4)上单调递增，所以f(2)由0<3−3π4<π4得f32>0，所以f(2)故选BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系及其应用、过两点的斜率公式，属于中档题．
A选项，写出抛物线方程与直线l的方程，结合根于系数的关系，即可判定；B选项，k=0时，直线l为x轴，和抛物线只有一个交点，即可判定；C选项，将直线l:y=k(x+p2)，代入y2=2px，结合根与系数，利用斜率公式，即可判定C；D选项，利用对称性，即可判定．
【解答】
解：当p=2时，抛物线方程为y2=4x，直线l:y=12(x+1)，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立得x2−14x+1=0，
所以x1+x2=14，
则|FA|+|FB|=x1+x2+b=14+2=16，故A正确;
当k=0时，直线l为x轴，和抛物线只有一个交点，故B不正确;
直线l:y=k(x+p2)，代入y2=2px，得k2x2+x(k2p−2p)+k2p24=0，
所以x1x2=p24，F(p2,0)，
则α+β=π⇔kAF+kBF=0，
则y1x1−p2+y2x2−p2=k(2x1x2−p22)(x1−p2)(x2−p2)=k(p22−p22)(x1−p2)(x2−p2)=0，故C正确;
因为点A关于x轴的对称点为点A′，由C知，直线A′B与BF的倾斜角相同，
所以A′，F，B三点共线，
所以直线A′B必恒过定点F，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数零点的个数，考查利用导数研究函数的零点，考查逻辑推理能力，考查分类讨论的思想，属于较难题．
将已知转化为方程xex−2ex+a(x−1)2=0(a≠0)有两个不同的根，令f(x)=xex−2ex+a(x−1)2(a≠0)，求出f′(x)，利用导数分a>0，a<0两类研究函数的零点个数，继而可求出a的取值范围．
【解答】
解：函数g(x)=2aex+2x−1的图象与ℎ(x)的图象有两个不同的交点，
则方程ℎ(x)=g(x)有两个不同的根，
即1axex+x2=2aex+2x−1(a≠0)有两个不同的根，
即xex−2ex+a(x−1)2=0(a≠0)有两个不同的根，
令f(x)=xex−2ex+a(x−1)2(a≠0)，
则f′(x)=(x−1)ex+2a(x−1)=(x−1)(ex+2a)．
①若a>0时，
当x>1时，f′(x)>0;当x<1时，f′(x)<0;
∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又∵f(1)=−e，f(2)=a，
取实数b满足b<0
且b则有f(b)>a2(b−2)+a(b−1)2=a(b2−32b)>0，
所以f(x)有两个零点．
②若a<0时，
当a≥−e2时，x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，
当x≤1时，f(x)<0，
故f(x)<0，
故f(x)不存在两个零点，
当a<−e2时，f(x)在(ln(−2a),+∞)上单调递增，
在(1,ln(−2a))上单调递减，
又当x≤1时，
故f(x)<0，
故f(x)不存在两个零点，
综上得a>0，
故选CD．
13.【答案】−75
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，考查诱导公式以及利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．
利用诱导公式可将已知式转化为cs2α−sin2α，再利用二倍角公式和同角三角函数基本关系即可化简求解．
【解答】
解：因为tanα=3，
所以sin(2α+5π2)+sin(2α−π)
=sin(π2+2α)−sin(π−2α)
=cs2α−sin2α
=cs2α−sin2α−2sinαcsα
=cs2α−sin2α−2sinαcsαcs2α+sin2α
=1−tan2α−2tanα1+tan2α
=1−9−2×31+9
=−75．
故答案为：−75．
14.【答案】8+4 33
【解析】【分析】
本题考查指数函数过定点和基本不等式求最值，属于一般题．
由指数函数的性质求出A点坐标，得m+2n=1，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)，
令x−2=0，即x=2，得y=4，
则函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(2,4)，
则2m+4n=2，
∴m+2n=1，
∴2m+13n=(2m+13n)(m+2n)=2+23+4nm+m3n≥83+2 4nm·m3n=8+4 33，
当且仅当4nm=m3n,m+2n=1,即m=2 32 3+2，n=12 3+2时等号成立．
故2m+13n的最小值为
15.【答案】540
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于一般题．
将6名志愿者按1，2，3；1，1，4；或2，2，2分组，再安排三项工作，即可求出结果．
【解答】
解：6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为1，2，3；1，1，4；2，2，2，
则安排方案有C63C32C11+C61C51C44A22+C62C42C22A33A33=(60+15+15)×6=540(种)．
16.【答案】 14−4 22
【解析】【分析】
本题考查球的切、接问题、空间几何体的截面问题(截面形状、面积)，属于较难题．
根据题意得出点P在正方形ABCD内运动轨迹为以D为圆心，1为半径的四分之一圆弧，做辅助线，找出球心，即可求出结果．
【解答】
解：连接DP，
则|DP|= |D1P|2−|DD1|2= 5−4=1，
所以点P在正方形ABCD内运动轨迹为以D为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接B1P，
则|B1P|2=|BP|2+|BB1|2=|BP|2+4，
所以|B1P|取得最小值时，只需|BP|取得最小值即可，
连接BD交圆弧于P点，此时|BP|取得最小值，
则|B1P|取得最小值，连接PM，
则△DPM为等腰直角三角形，DP⊥MP，
又B1B⊥MP，
所以三棱锥B1−MPB为四个面均为直角三角形的三棱锥，
则球心为B1M的中点，B1M为直径，
则|B1M|= |BM|2+|BB1|2= |CM|2+|CB|2+|BB1|2
= (2− 2)2+4+4= 14−4 2，
所以外接球半径R= 14−4 22．
故答案为 14−4 22．
17.【答案】解：(1)a12+a222+a323+⋯+an2n=n， ①
当n≥2时，a12+a222+a323+⋯+an−12n−1=n−1， ②
由 ①− ②得an=2n，
又n=1时，a121=1，
∴a1=2，满足上式，
综上，an=2n;
(2)bn=lg2an=n
则1bn⋅bn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
设数列{1bn⋅bn+1}的前n项和为Tn
所以Tn=1b1⋅b2+1b2⋅b3+⋯+1bn⋅bn+1=11×2+12×3+⋯+1n⋅(n+1)
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】本题考查由数列的递推关系求通项公式和数列求和，属于一般题．
(1)求出当n≥2时，an=2n，结合n=1时a1=2，即可求通项公式;
(2)求出bn，利用裂项相消法即可求解．
18.【答案】解：∵1−cs2BcsA=sin2B1+sinA，
∴sin2 B+cs2 B−cs2 B−sin2 Bcs A=2sin Bcs B1+sin A，
整理可得1+sinAcsA=2sinBcsB2sin2B，
即1+sinAcsA=csBsinB，
即sinB+sinAsinB=csAcsB，
sinB=cs(A+B)=cs(π−C)
=−csC=sin(C−π2)，
∵B，C∈(0,π)，
∴B=C−π2．
(1)由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
∴ABAC=sinCsinB=sinCsin(C−π2)=−tanC= 3，
∵C∈(0,π)，
∴C=2π3．
(2)C=B+π2，则C2=B2+π4=α，
S△BCD+S△ACD=S△ABC，
即12×2×BC×sinα+12×2×AC×sinα
=12×BC×AC×sin2α，
所以2(BC+AC)sinα=2BC⋅AC⋅sinα⋅csα，
即1BC+1AC=csα，
即cs(B2+π4)=1AC+1BC．
【解析】本题考查二倍角公式、诱导公式，考查利用正弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于中档题．
利用二倍角公式、诱导公式并结合已知条件可得B=C−π2；
(1)利用正弦定理并结合AB= 3AC和诱导公式即可求出角C;
(2)易得C2=B2+π4=α，再由S△BCD+S△ACD=S△ABC并利用三角形面积公式即可得出1BC+1AC=csα，即可得证．
19.【答案】解：(1)取BC的中点为O，DE的中点为O ′，连接A′O与OO′，
∵正三角形ABC中，AD=3DB，AE=3EC，
∴DE= //34BC，OO′⊥DE，OO′⊥BC，
∵立体图形由翻折可得且A′E=A′D，
∴A′C=A′B，∵O是BC的中点，
∴A′O⊥BC，
平面A′BC⊥平面DBC，平面A′BC∩平面DBC=BC，A′O⊂平面A′BC，
∴A′O⊥平面DBC，
又OO′⊂平面DBC，
∴A′O⊥OO′，
以点O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
∵正△ABC的边长为4，DE= //34BC，
∴OC=OB=2，OO′= 32，连接A′O′，在△A′OO′中，A′O′=3 32，
在△A′OO′中，由勾股定理得OA′= 6，
∴A′(0,0, 6)，D(−32, 32,0)，E(32, 32,0)，M(1,0, 62)，
A′D=(−32, 32,− 6)，EM=(−12,− 32, 62)，
∴cs=A′D⋅EM|A′D||EM|=− 105，
∵异面直线所成角的取值范围为(0,π2]，
∴异面直线A′D与EM所成角的余弦值为 105．
(2)由(1)得A′(0,0, 6)，B(−2,0,0)，C(2,0,0)，D(−32, 32,0)，E(32, 32,0)，M(1,0, 62)，
∴BC=(4,0,0)，BA′=(2,0, 6)，DE=(3,0,0)，DM=(52,− 32, 62)，
易得平面A′BC的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面DEM的法向量为n=(x,y,z)，
则DE⋅n=0DM⋅n=0，即 3x=0,52x− 32y+ 62z=0,，可取n=(0, 2,1)，
∴|cs|=|m⋅n|m||n||= 63，
由图像可知，平面A′BC与平面DEM的夹角为锐角
∴平面A′BC与平面DEM夹角的余弦值为 63
【解析】本题重点考查异面直线的夹角和平面与平面的夹角，属于一般题．
(1)建立空间直角坐标系，通过求cs，即可求异面直线夹角的余弦值;
(2)分别求出两个平面的法向量，由向量法即可求解．
20.【答案】解：(1)因为f′x=maxlna+2x−lna，
所以f′0=mlna−lna=m−1lna=0，
所以m=1．
又f0=m+n=1，所以n=0．
所以fx=ax+x2−xlna．
则f′x=axlna+2x−lna=2x+ax−1lna，令gx=2x+ax−1lna，
所以g′x=2+ax·ln2a>0，
所以f′x在R上单调递增，又f′0=0，
所以不等式f′x>0的解集为0,+∞，
故函数f(x)的单调递增区间为0,+∞．
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，
只需fxmax−fxmin⩽e−1，
由(1)知，f(x)在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，
所以当x∈−1,1时，fxmin=f0=1，
fxmax为f(1)，f(−1)中的最大值，
因为f1−f−1=a−1a−2lna，
令ℎa=a−1a−2lna，则ℎ′a=1+1a2−2a=1−1a2>0，
所以ℎa=a−1a−2lna在a∈1,+∞上时增函数，而ℎ1=0，
所以a>1，ℎa>0，
即f1>f−1，
所以fxmax−fxmin=f1−f0⩽e−1，
即a−lna⩽e−1，
对于y=a−lna，则当a>1时，y′=1−1a>0，所以函数y=a−lna在a∈1,+∞时为增函数，
所以a⩽e，又a>1，
所以实数a的取值范围为(1,e]．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，求解不等式问题，属于中档题．
(1)利用导数的几何意义先求出m，n的值，再利用导函数确定出函数的单调区间；
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，
只需fxmax−fxmin⩽e−1，由(1)知，f(x)在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，所以当x∈−1,1时，fxmin=f0=1，fxmax为f(1)，f(−1)中的最大值，
利用作差法得出f(1)与f(−1)的大小，即可求解．
21.【答案】解：(1)因为圆F1:(x+c)2+y2=1与圆F2:(x−c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，
所以2a=1+3，a=2，
又kAA1⋅kAA2=−b2a2=−34，∴b2=3，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2) ①由(1)知椭圆右焦点F2(1,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，
则切线PM的方程为xx14+yy13=1，
即3xx1+4yy1=12，点P在直线PM上，
∴12x1+4ty1=12，∴3x1+ty1=3，
∵kMF2=y1x1−1，kPF2=t4−1=t3，∴kMF2kPF2=y1x1−1⋅t3=ty13(x1−1)，
∵3x1+ty1=3，∴ty1=3−3x1=3(1−x1)，
代入上式得kMF2kPF2=ty13(x1−1)=3(1−x1)3(x1−1)=−1，
∴MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，
所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②由 ①知直线MN恒过定点F2(1,0)，
令直线MN:x=my+1，
代入椭圆方程x24+y23=1，
得y2(3m2+4)+6my−9=0，则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0恒成立，
则|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=12(1+m2)3m2+4，
①当m≠0时，
点P到直线MN的距离为|PF2|= 9+t2，
∵PF2⊥MN，
∴kPF⋅kMN=−1，∴t3⋅1m=−1，
∴t=−3m，∴|PF2|= 9+9m2=3 1+m2，
∴S△PMN=12|PF2||MN|=18(1+m2) 1+m23m2+4，
令n= 1+m2>1，∴m2=n2−1，
则S△PMN=18n2n3n2+1=18n33n2+1=183n+1n3，
∵y=3n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递减，
∴S△PMN=183n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递增，
∴S△PMN>1831+113=92，
②当n=1时，S△PMN=184=92．
综上，△PMN的最小值为92．
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线经过定点问题，三角形的面积，属于较难题．
(1)根据两圆交点在椭圆上，可得a=2，再根据kAA1⋅kAA2=−34可得b2=3，即可求出椭圆方程;
(2) ①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，切线PM的方程为xx14+yy13=1，化简整理得kMF2kPF2=−1，MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②设直线MN:x=my+1，，代入到椭圆方程，由弦长公式求出|MN|，再表示出点P到直线MN的距离，得到三角形PMN的面积，利用函数可求最值．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
当n=2时，P1∈(0,1)，
H(ξ)=−P1lg2P1−(1−P1)lg2(1−P1)，
令f(t)=−tlg2t−(1−t)lg2(1−t)，t∈(0,1)，
则f′(t)=−lg2t+lg2(1−t)=lg2(1t−1)，
则当t∈(0,12)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
当t∈(12,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减，
所以函数f(t)在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减，
所以当P1=12时，H(ξ)取得最大时，最大值为H(ξ)max=1．
(2)P1=P2=12n−1，Pk+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，
则Pk=P2×2k−2=2k−22n−1=12n−k+1，(k=2,3,⋯,n)，
Pklg2Pk=12n−k+1lg212n−k+1=−n−k+12n−k+1，
而P1lg2P1=12n−1lg212n−1=−n−12n−1，
于是H(ξ)=n−12n−1+k=2nPklg2Pk
=n−12n−1+n−12n−1+n−22n−2+⋯+222+12
=n−12n−1−n2n+n2n+n−12n−1+n−22n−2+⋯+222+12，
令Sn=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，
则12Sn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1，
两式相减得
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1
=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，
因此Sn=2−n+22n，
所以H(ξ)=n−12n−1−n2n+Sn
=n−12n−1−n2n+2−n+22n
=2−12n−2．
【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，考查错位相减法求和，考查等比数列的前n项和公式，考查数学运算能力，属于较难题．
(1)由题意可得当n=2时，P1∈(0,1)，即可得出H(ξ)，设出函数，求导，利用导数研究H(ξ)的最大值，即可求解;
(2)由题意并结合对数式的化简可写出H(ξ)的表达式，再利用错位相减法并结合等比数列的前n项和公式即可求出H(ξ).
1.设全集U=R，集合A={x|x+2x−1>0}，B={x|x≤1}，则A∩(∁UB)=( )
A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2
2.若复数z=1+i2023(i为虚数单位)，则复数z2−2在复平面上对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a=(59, 32)，b=(−49,− 32)，c=(−1, 3)，则向量c在向量a−b上的投影向量为
( )
A. (12, 32)B. (−12, 32)C. ( 32,12)D. (− 32,12)
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5S10=13，则S10S20=( )
A. 37B. 310C. 311D. 314
5.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x的最大整数，例如[6.8]=6，[−4.1]=−5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=lg2(−x2+x+2)，则当x∈[0,1]时，[f(x)]的值域为( )
A. [2,94]B. {2,94}C. {1}D. {2}
6.在正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，G为线段B1D1上的动点，则点B到平面GAD距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
7.设实数a>0，若不等式aeax−1≥lnxe对任意x>0恒成立，则a的最小值为( )
A. eB. 2eC. 1eD. 12e
8.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( )
A. 2+ 33B. 1+ 33C. 2 33D. 4 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的有( )
A. 数据11，20，14，17，26，27，9，29，15，30，4的第75百分位数为30
B. 已知随机变量X服从二项分布B(n,23)，若E(2X−1)=7，则n=6
C. 已知回归直线方程为y=bx+9，若样本中心为(−3,24)，则b=−5
D. 若变量x和y之间的样本相关系数为r=0.9989，则变量x和y之间的正相关性很小
10.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A. φ=π4，函数f(x)的最小正周期为π
B. f(π24)= 3
C. 方程f(x)=sin(2x+π4)(x∈[0,π])的解为3π8，7π8
D. f(2)
A. 当p=2，k=12时，|FA|+|FB|=16
B. k∈(−1,1)
C. 若直线AF，BF的倾斜角分别为α，β，则α+β=π
D. 若点A关于x轴的对称点为点A′，则直线A′B必恒过定点
12.已知函数ℎ(x)=1axex+x2，若函数g(x)=2aex+2x−1的图象与ℎ(x)的图象有两个不同的交点，则实数a的可能取值为( )
A. −3B. ln12C. ln2D. 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知tanα=3，则sin(2α+5π2)+sin(2α−π)= ．
14.已知函数y=ax−2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny=2上，其中m>0，n>0，则2m+13n的最小值为 ．
15.2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有 种安排方案.(用数字作答)
16.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M在DC上，且DM= 2，动点P在正方形ABCD内运动(含边界)，若|D1P|= 5，则当|B1P|取得最小值时，三棱锥B1−MPB外接球的半径为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足a12+a222+a323+⋯+an2n=n．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=lg2an，求数列{1bn⋅bn+1}的前n项和．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角C的平分线与边AB交于点D，且满足1−cs2BcsA=sin2B1+sinA．
(1)若AB= 3AC，求角C;
(2)若CD=2，求证：cs(B2+π4)=1AC+1BC．
19.(本小题12分)
如图1，已知正三角形ABC边长为4，其中AD=3DB，AE=3EC，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A′处，使得平面A′BC⊥平面DBC，M为A′C中点，如图2．
(1)求异面直线A′D与EM所成角的余弦值;(2)求平面A′BC与平面DEM夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=max+x2−xlna+n(a>1)，m，n为常数，过曲线y=f(x)上一点P(0,1)处的切线与y轴垂直．
(1)求m，n的值及f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1为圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线AA1，AA2的斜率之积为−34．
(1)求椭圆E的方程;
(2)点P是直线l:x=4上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N．
①求证直线MN恒过定点，并求出此定点;
②求△PMN面积的最小值．
22.(本小题12分)
在信息论中，熵(entrpy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用Sℎ、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sℎ的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用lg2n位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德⋅艾尔伍德⋅香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯⋅麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ所有取值为1，2，⋯n，定义ξ的信息熵H(ξ)=−i=1nPilg2Pi(i=1nPi=1,i=1,2,⋯,n)．
(1)若n=2，试探索ξ的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值;
(2)若P1=P2=12n−1，Pk+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，求此时的信息熵．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．
由已知求出∁UB和A，然后求交集即可．
【解答】解：因为A={x|x+2x−1>0}={x|x>1或x<−2}，
B={x|x≤1}，
所以∁UB={x|x>1}，
所以A∩(∁UB)={x|x>1}.
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
化简z，得 z2−2，由复数的几何意义即可求解．
【解答】
解： z=1+i 2023=1−i，
则z2−2=(1−i)2−2=−2−2i，对应点(−2,−2)，在第三象限
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
根据投影向量的计算公式求解．
【解答】
解：因为向量a=(59, 32)，b=(−49,− 32)，c=(−1, 3)，a−b=(1, 3)，
所以向量c在向量a−b上的投影向量为：
|c|cs
4.【答案】B
【解析】【分析】
先根据等差数列的前n项和公式由S5S10=13可得a1与d的关系，再代入到S10S20即可求得答案．
本题主要考查等差数列的前n项和公式．属基础题．
【解答】
解：根据等差数列的前n项和公式得到：
S5S10=13=5a1+10d10a1+45d，
∴a1=3d，
S10S20=10a1+45d20a1+190d=75d250d=310，
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的新定义，对数型函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．
由题意先求出函数的定义域，利用换元法求出函数f(x)的值域，即可利用新定义得出[f(x)]的值域．
【解答】
解：由−x2+x+2>0得x+1x−2<0，解得：−1
则t=−x2+x+2在0,12上单调递增，在12,1上单调递减，
所以fx的值域为1,lg294，所以fx的值域为1，
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点面距离，属于一般题．
利用等体积法，由VB−AGD=VG−ABD即可求解．
【解答】
解：由题意得VG−ABD=13×S△ABD⋅BB1=13×12×2×2×2=43，
设点B到平面GAD的距离为ℎ，
则由等体积转化法为VB−AGD=13×S△ADG⋅ℎ=VG−ABD=43，
当G与B1重合时，S△ADG最大，最大为12×2×2 2=2 2，
此时ℎ最小，为 2.故选B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查利用导数研究恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．
将已知条件转化为不等式eaxlneax≥xlnx(x>0)恒成立，令s(t)=tlnt，利用s′(t)研究s(t)的单调性，继而可得eax>x恒成立，则有a≥lnxx，设μ(x)=lnxx，利用μ′(x)研究μ(x)的最小值即可求得a的最小值．
【解答】解：不等式aeax−1≥lnxe等价于ax⋅eax−xlnx≥0(x>0)，
则ax⋅eax−xlnx≥0(x>0)恒成立，即eaxlneax≥xlnx(x>0)恒成立，令s(t)=tlnt，则s′(t)=lnt+1，
当0
因此若x>1e时，不等式eaxlneax≥xlnx恒成立，则eax>x恒成立，
若0
所以当x>0时，eax>x恒成立，则ax≥lnx，即a≥lnxx，
设μ(x)=lnxx，μ′(x)=1−lnxx2，当0
当x>e时，μ′(x)<0，μ(x)单调递减，所以μ(x)max=μ(e)=1e，所以a≥1e，即正实数a的最小值为1e，
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆，双曲线的定义以及离心率，基本不等式求最值，属于较难题．
先设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长a 2，焦距2c.因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a 1，a 2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a 1，a 2表示出|AF 1|，|AF 2|，在△F 1AF 2中根据余弦定理可得到：1e12+3e22=4，利用基本不等式可得结论．
【解答】
解：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，
则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2，
∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，
设|F 1F 2|=2c，∠F 1PF 2= π3，
则：在△PF 1F 2中由余弦定理得，
4c 2=(a 1+a 2) 2+(a 1−a 2) 2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cs π3，
∴化简得：a 1 2+3a 2 2=4c 2，
即：1e12+3e22=4．
则e12e12+1+3e22e22+3=11e12+1+33e22+1=11e12+1+33e22+11e12+1+3e22+1
=16×4+3e22+11e12+1+31e12+13e22+1⩾16×4+2 3=2+ 33，
当且仅当3e22+12=31e12+121e12+3e22=1e12+1+3e22+1=6，即e12=3 3+411<1e22=38−3 3>1时取等号，
故选A．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了百分位数，二项分布的期望，回归直线方程，相关系数的概念，属于基础题．
利用百分位数的概念判断A，利用期望公式判断B；利用回归直线方程一定经过样本中心点判断C；利用为正值时，值越大，则“x与y之间的正相关”越强判断D．
【解答】
解：对于A项.11个数的顺序为：4，9，11，14，15，17，20，26，27，29，30，因为11×75％=8.25，所以第75百分位数为27，故A项错误；
对于B项.因为随机变量X服从二项分布B(n,23)，所以EX=np=23n，
所以E(2X−1)=2EX−1=43n−1=7，
解得：n=6，故B项正确；
对于C项.回归直线方程必过样本中心点，则24=−3b+9，解得：b=−5，故C项正确；
对于D项.r为正值时，值越大，判断“x与y之间的正相关”越强，故D项不正确．
故选BC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查正切函数的图象与性质，属于中档题
根据条件求出f(x)的解析式，利用球函数值，以及三角函数的性质，正切函数的单调性逐一判断得出结果．
【解答】
解：由图象知T2=7π8−5π8=π4，即函数f(x)的最小正周期T=π2=πω，则ω=2．
因为f(7π8)=Atan(2×7π8+φ)=0，
则7π4+φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ−7π4,k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π4，
即f(x)=Atan(2x+π4)，故A不正确；
因为f0=1，所以f(0)=Atanπ4=1，即A=1，则f(x)=tan(2x+π4)，
则f(π24)=tan(2×π24+π4)=tanπ3= 3，故B正确；
因为f(x)=sin(2x+π4)，
由f(x)=tan(2x+π4)=sin (2x+π4)cs (2x+π4)=sin(2x+π4)，得sin(2x+π4)=0或cs(2x+π4)=1，
又x∈[0,π]，∴2x+π4∈[π4,9π4]，
∴2x+π4=π或2π，即x=3π8或7π8.故C正确；
由f(x)=tan(2x+π4)，f(12)=tan(1+π4)，f(32)=tan(3+π4)=tan(3−3π4)，
f(2)=tan(4+π4)=tan(4−3π4)，
因为π2<1+π4<3π4,π2<4−3π4<3π4，
1+π4>4−3π4，且y=tanx在(π2,3π4)上单调递增，所以f(2)
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系及其应用、过两点的斜率公式，属于中档题．
A选项，写出抛物线方程与直线l的方程，结合根于系数的关系，即可判定；B选项，k=0时，直线l为x轴，和抛物线只有一个交点，即可判定；C选项，将直线l:y=k(x+p2)，代入y2=2px，结合根与系数，利用斜率公式，即可判定C；D选项，利用对称性，即可判定．
【解答】
解：当p=2时，抛物线方程为y2=4x，直线l:y=12(x+1)，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立得x2−14x+1=0，
所以x1+x2=14，
则|FA|+|FB|=x1+x2+b=14+2=16，故A正确;
当k=0时，直线l为x轴，和抛物线只有一个交点，故B不正确;
直线l:y=k(x+p2)，代入y2=2px，得k2x2+x(k2p−2p)+k2p24=0，
所以x1x2=p24，F(p2,0)，
则α+β=π⇔kAF+kBF=0，
则y1x1−p2+y2x2−p2=k(2x1x2−p22)(x1−p2)(x2−p2)=k(p22−p22)(x1−p2)(x2−p2)=0，故C正确;
因为点A关于x轴的对称点为点A′，由C知，直线A′B与BF的倾斜角相同，
所以A′，F，B三点共线，
所以直线A′B必恒过定点F，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数零点的个数，考查利用导数研究函数的零点，考查逻辑推理能力，考查分类讨论的思想，属于较难题．
将已知转化为方程xex−2ex+a(x−1)2=0(a≠0)有两个不同的根，令f(x)=xex−2ex+a(x−1)2(a≠0)，求出f′(x)，利用导数分a>0，a<0两类研究函数的零点个数，继而可求出a的取值范围．
【解答】
解：函数g(x)=2aex+2x−1的图象与ℎ(x)的图象有两个不同的交点，
则方程ℎ(x)=g(x)有两个不同的根，
即1axex+x2=2aex+2x−1(a≠0)有两个不同的根，
即xex−2ex+a(x−1)2=0(a≠0)有两个不同的根，
令f(x)=xex−2ex+a(x−1)2(a≠0)，
则f′(x)=(x−1)ex+2a(x−1)=(x−1)(ex+2a)．
①若a>0时，
当x>1时，f′(x)>0;当x<1时，f′(x)<0;
∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又∵f(1)=−e，f(2)=a，
取实数b满足b<0
且b
所以f(x)有两个零点．
②若a<0时，
当a≥−e2时，x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，
当x≤1时，f(x)<0，
故f(x)<0，
故f(x)不存在两个零点，
当a<−e2时，f(x)在(ln(−2a),+∞)上单调递增，
在(1,ln(−2a))上单调递减，
又当x≤1时，
故f(x)<0，
故f(x)不存在两个零点，
综上得a>0，
故选CD．
13.【答案】−75
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，考查诱导公式以及利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．
利用诱导公式可将已知式转化为cs2α−sin2α，再利用二倍角公式和同角三角函数基本关系即可化简求解．
【解答】
解：因为tanα=3，
所以sin(2α+5π2)+sin(2α−π)
=sin(π2+2α)−sin(π−2α)
=cs2α−sin2α
=cs2α−sin2α−2sinαcsα
=cs2α−sin2α−2sinαcsαcs2α+sin2α
=1−tan2α−2tanα1+tan2α
=1−9−2×31+9
=−75．
故答案为：−75．
14.【答案】8+4 33
【解析】【分析】
本题考查指数函数过定点和基本不等式求最值，属于一般题．
由指数函数的性质求出A点坐标，得m+2n=1，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)，
令x−2=0，即x=2，得y=4，
则函数y=ax−2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(2,4)，
则2m+4n=2，
∴m+2n=1，
∴2m+13n=(2m+13n)(m+2n)=2+23+4nm+m3n≥83+2 4nm·m3n=8+4 33，
当且仅当4nm=m3n,m+2n=1,即m=2 32 3+2，n=12 3+2时等号成立．
故2m+13n的最小值为
15.【答案】540
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于一般题．
将6名志愿者按1，2，3；1，1，4；或2，2，2分组，再安排三项工作，即可求出结果．
【解答】
解：6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，则分组方式为1，2，3；1，1，4；2，2，2，
则安排方案有C63C32C11+C61C51C44A22+C62C42C22A33A33=(60+15+15)×6=540(种)．
16.【答案】 14−4 22
【解析】【分析】
本题考查球的切、接问题、空间几何体的截面问题(截面形状、面积)，属于较难题．
根据题意得出点P在正方形ABCD内运动轨迹为以D为圆心，1为半径的四分之一圆弧，做辅助线，找出球心，即可求出结果．
【解答】
解：连接DP，
则|DP|= |D1P|2−|DD1|2= 5−4=1，
所以点P在正方形ABCD内运动轨迹为以D为圆心，1为半径的四分之一圆弧，连接B1P，
则|B1P|2=|BP|2+|BB1|2=|BP|2+4，
所以|B1P|取得最小值时，只需|BP|取得最小值即可，
连接BD交圆弧于P点，此时|BP|取得最小值，
则|B1P|取得最小值，连接PM，
则△DPM为等腰直角三角形，DP⊥MP，
又B1B⊥MP，
所以三棱锥B1−MPB为四个面均为直角三角形的三棱锥，
则球心为B1M的中点，B1M为直径，
则|B1M|= |BM|2+|BB1|2= |CM|2+|CB|2+|BB1|2
= (2− 2)2+4+4= 14−4 2，
所以外接球半径R= 14−4 22．
故答案为 14−4 22．
17.【答案】解：(1)a12+a222+a323+⋯+an2n=n， ①
当n≥2时，a12+a222+a323+⋯+an−12n−1=n−1， ②
由 ①− ②得an=2n，
又n=1时，a121=1，
∴a1=2，满足上式，
综上，an=2n;
(2)bn=lg2an=n
则1bn⋅bn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
设数列{1bn⋅bn+1}的前n项和为Tn
所以Tn=1b1⋅b2+1b2⋅b3+⋯+1bn⋅bn+1=11×2+12×3+⋯+1n⋅(n+1)
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】本题考查由数列的递推关系求通项公式和数列求和，属于一般题．
(1)求出当n≥2时，an=2n，结合n=1时a1=2，即可求通项公式;
(2)求出bn，利用裂项相消法即可求解．
18.【答案】解：∵1−cs2BcsA=sin2B1+sinA，
∴sin2 B+cs2 B−cs2 B−sin2 Bcs A=2sin Bcs B1+sin A，
整理可得1+sinAcsA=2sinBcsB2sin2B，
即1+sinAcsA=csBsinB，
即sinB+sinAsinB=csAcsB，
sinB=cs(A+B)=cs(π−C)
=−csC=sin(C−π2)，
∵B，C∈(0,π)，
∴B=C−π2．
(1)由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
∴ABAC=sinCsinB=sinCsin(C−π2)=−tanC= 3，
∵C∈(0,π)，
∴C=2π3．
(2)C=B+π2，则C2=B2+π4=α，
S△BCD+S△ACD=S△ABC，
即12×2×BC×sinα+12×2×AC×sinα
=12×BC×AC×sin2α，
所以2(BC+AC)sinα=2BC⋅AC⋅sinα⋅csα，
即1BC+1AC=csα，
即cs(B2+π4)=1AC+1BC．
【解析】本题考查二倍角公式、诱导公式，考查利用正弦定理解三角形，考查三角形面积公式，属于中档题．
利用二倍角公式、诱导公式并结合已知条件可得B=C−π2；
(1)利用正弦定理并结合AB= 3AC和诱导公式即可求出角C;
(2)易得C2=B2+π4=α，再由S△BCD+S△ACD=S△ABC并利用三角形面积公式即可得出1BC+1AC=csα，即可得证．
19.【答案】解：(1)取BC的中点为O，DE的中点为O ′，连接A′O与OO′，
∵正三角形ABC中，AD=3DB，AE=3EC，
∴DE= //34BC，OO′⊥DE，OO′⊥BC，
∵立体图形由翻折可得且A′E=A′D，
∴A′C=A′B，∵O是BC的中点，
∴A′O⊥BC，
平面A′BC⊥平面DBC，平面A′BC∩平面DBC=BC，A′O⊂平面A′BC，
∴A′O⊥平面DBC，
又OO′⊂平面DBC，
∴A′O⊥OO′，
以点O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
∵正△ABC的边长为4，DE= //34BC，
∴OC=OB=2，OO′= 32，连接A′O′，在△A′OO′中，A′O′=3 32，
在△A′OO′中，由勾股定理得OA′= 6，
∴A′(0,0, 6)，D(−32, 32,0)，E(32, 32,0)，M(1,0, 62)，
A′D=(−32, 32,− 6)，EM=(−12,− 32, 62)，
∴cs
∵异面直线所成角的取值范围为(0,π2]，
∴异面直线A′D与EM所成角的余弦值为 105．
(2)由(1)得A′(0,0, 6)，B(−2,0,0)，C(2,0,0)，D(−32, 32,0)，E(32, 32,0)，M(1,0, 62)，
∴BC=(4,0,0)，BA′=(2,0, 6)，DE=(3,0,0)，DM=(52,− 32, 62)，
易得平面A′BC的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面DEM的法向量为n=(x,y,z)，
则DE⋅n=0DM⋅n=0，即 3x=0,52x− 32y+ 62z=0,，可取n=(0, 2,1)，
∴|cs
由图像可知，平面A′BC与平面DEM的夹角为锐角
∴平面A′BC与平面DEM夹角的余弦值为 63
【解析】本题重点考查异面直线的夹角和平面与平面的夹角，属于一般题．
(1)建立空间直角坐标系，通过求cs
(2)分别求出两个平面的法向量，由向量法即可求解．
20.【答案】解：(1)因为f′x=maxlna+2x−lna，
所以f′0=mlna−lna=m−1lna=0，
所以m=1．
又f0=m+n=1，所以n=0．
所以fx=ax+x2−xlna．
则f′x=axlna+2x−lna=2x+ax−1lna，令gx=2x+ax−1lna，
所以g′x=2+ax·ln2a>0，
所以f′x在R上单调递增，又f′0=0，
所以不等式f′x>0的解集为0,+∞，
故函数f(x)的单调递增区间为0,+∞．
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，
只需fxmax−fxmin⩽e−1，
由(1)知，f(x)在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，
所以当x∈−1,1时，fxmin=f0=1，
fxmax为f(1)，f(−1)中的最大值，
因为f1−f−1=a−1a−2lna，
令ℎa=a−1a−2lna，则ℎ′a=1+1a2−2a=1−1a2>0，
所以ℎa=a−1a−2lna在a∈1,+∞上时增函数，而ℎ1=0，
所以a>1，ℎa>0，
即f1>f−1，
所以fxmax−fxmin=f1−f0⩽e−1，
即a−lna⩽e−1，
对于y=a−lna，则当a>1时，y′=1−1a>0，所以函数y=a−lna在a∈1,+∞时为增函数，
所以a⩽e，又a>1，
所以实数a的取值范围为(1,e]．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，求解不等式问题，属于中档题．
(1)利用导数的几何意义先求出m，n的值，再利用导函数确定出函数的单调区间；
(2)若对任意的x1，x2∈[−1,1]，使得|f(x1)−f(x2)|≤e−1(e是自然对数的底数)恒成立，
只需fxmax−fxmin⩽e−1，由(1)知，f(x)在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，所以当x∈−1,1时，fxmin=f0=1，fxmax为f(1)，f(−1)中的最大值，
利用作差法得出f(1)与f(−1)的大小，即可求解．
21.【答案】解：(1)因为圆F1:(x+c)2+y2=1与圆F2:(x−c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，
所以2a=1+3，a=2，
又kAA1⋅kAA2=−b2a2=−34，∴b2=3，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2) ①由(1)知椭圆右焦点F2(1,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，
则切线PM的方程为xx14+yy13=1，
即3xx1+4yy1=12，点P在直线PM上，
∴12x1+4ty1=12，∴3x1+ty1=3，
∵kMF2=y1x1−1，kPF2=t4−1=t3，∴kMF2kPF2=y1x1−1⋅t3=ty13(x1−1)，
∵3x1+ty1=3，∴ty1=3−3x1=3(1−x1)，
代入上式得kMF2kPF2=ty13(x1−1)=3(1−x1)3(x1−1)=−1，
∴MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，
所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②由 ①知直线MN恒过定点F2(1,0)，
令直线MN:x=my+1，
代入椭圆方程x24+y23=1，
得y2(3m2+4)+6my−9=0，则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0恒成立，
则|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=12(1+m2)3m2+4，
①当m≠0时，
点P到直线MN的距离为|PF2|= 9+t2，
∵PF2⊥MN，
∴kPF⋅kMN=−1，∴t3⋅1m=−1，
∴t=−3m，∴|PF2|= 9+9m2=3 1+m2，
∴S△PMN=12|PF2||MN|=18(1+m2) 1+m23m2+4，
令n= 1+m2>1，∴m2=n2−1，
则S△PMN=18n2n3n2+1=18n33n2+1=183n+1n3，
∵y=3n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递减，
∴S△PMN=183n+1n3在n∈(1,+∞)上单调递增，
∴S△PMN>1831+113=92，
②当n=1时，S△PMN=184=92．
综上，△PMN的最小值为92．
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线经过定点问题，三角形的面积，属于较难题．
(1)根据两圆交点在椭圆上，可得a=2，再根据kAA1⋅kAA2=−34可得b2=3，即可求出椭圆方程;
(2) ①设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(4,t)，切线PM的方程为xx14+yy13=1，化简整理得kMF2kPF2=−1，MF2⊥PF2，同理NF2⊥PF2，所以直线MN恒过定点F2(1,0)．
②设直线MN:x=my+1，，代入到椭圆方程，由弦长公式求出|MN|，再表示出点P到直线MN的距离，得到三角形PMN的面积，利用函数可求最值．
22.【答案】解：(1)由题意可得，
当n=2时，P1∈(0,1)，
H(ξ)=−P1lg2P1−(1−P1)lg2(1−P1)，
令f(t)=−tlg2t−(1−t)lg2(1−t)，t∈(0,1)，
则f′(t)=−lg2t+lg2(1−t)=lg2(1t−1)，
则当t∈(0,12)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
当t∈(12,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减，
所以函数f(t)在(0,12)上单调递增，在(12,1)上单调递减，
所以当P1=12时，H(ξ)取得最大时，最大值为H(ξ)max=1．
(2)P1=P2=12n−1，Pk+1=2Pk(k=2,3,⋯,n)，
则Pk=P2×2k−2=2k−22n−1=12n−k+1，(k=2,3,⋯,n)，
Pklg2Pk=12n−k+1lg212n−k+1=−n−k+12n−k+1，
而P1lg2P1=12n−1lg212n−1=−n−12n−1，
于是H(ξ)=n−12n−1+k=2nPklg2Pk
=n−12n−1+n−12n−1+n−22n−2+⋯+222+12
=n−12n−1−n2n+n2n+n−12n−1+n−22n−2+⋯+222+12，
令Sn=12+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，
则12Sn=122+223+324+⋯+n−12n+n2n+1，
两式相减得
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1
=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，
因此Sn=2−n+22n，
所以H(ξ)=n−12n−1−n2n+Sn
=n−12n−1−n2n+2−n+22n
=2−12n−2．
【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，考查错位相减法求和，考查等比数列的前n项和公式，考查数学运算能力，属于较难题．
(1)由题意可得当n=2时，P1∈(0,1)，即可得出H(ξ)，设出函数，求导，利用导数研究H(ξ)的最大值，即可求解;
(2)由题意并结合对数式的化简可写出H(ξ)的表达式，再利用错位相减法并结合等比数列的前n项和公式即可求出H(ξ).
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