浙江省宁波市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析

这是一份浙江省宁波市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析，共15页。试卷主要包含了 “”是“”， 命题“，”的否定是， 已知集合，，则， 函数的图象如图，则的图象是， 已知，，，则，，的大小关系是， 已知函数，若，则整数a的值为， 存在函数满足等内容，欢迎下载使用。
1. “”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析选项即可.
【详解】由可知，不满足充分性，
由可知，满足必要性，
即“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可得解.
【详解】由全称命题的否定可得，
“，”的否定是“，”，
故选：C.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数定义域和值域确定集合，再由交集运算即可求解.
【详解】由，
，
所以，
故选：C
4. 函数的图象如图，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象的平移与翻折得解.
【详解】的图象可以由向右平移2个单位，再把轴下方的图象翻折到轴上方即可，所以C选项正确.
故选：C
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
又，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
综上可得.
故选：A
6. 已知函数，若，则整数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. -1或0
【答案】D
【解析】
【分析】由题验证各选项可得答案.
【详解】当时，，故满足题意；
当时，，，故不满足题意；
当时，，，故满足题意.
综上，可得整数a的值为或.
故选：D
7. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知：，
则，
当且仅当，即时取得等号.
故选：D
8. 已知表示不超过的最大整数，若，记，且，有恒成立，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用取整函数的含义，设，化简函数为，分类讨论的范围，化简函数式，结合函数的单调性计算最值即可.
【详解】设其中，，
（1）当时，
①当，；
②当，；
③当，；
当时，，；
当时，，；
当时，，
（2）当时，
①当，；
②当，；
③当，；
以上三种情况中，所以当时，
综上.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 已知实数满足，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质、反比例函数的性质结合反例分析选项即可.
【详解】对于A，若，则，即A不一定成立；
对于B，由可知，
根据反比例函数的单调性可知，即B一定成立；
对于C，若，则，即C不一定成立；
对于D，若，则，即D不一定成立.
故选：ACD
10. 存在函数满足：对任意都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的定义，对于任意自变量有唯一的与之对应，判断ABD,对取特殊值，通过举反例排除C即可.
【详解】对于A选项，令，则，所以任意，都有唯一，使得都有唯一值，故合乎要求；
对于B选项，令，则，；
所以对任意，都有唯一，使得有唯一值，故合乎要求；
对于C选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾，不合乎题意；
对于D选项，令，则，对任意，都有唯一，使得有唯一值，合乎题意.
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足：
①对任意都有；②当，.
则下列说法中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是减函数
C. 若，则D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由赋值法令结合奇函数定义可判断选项正误；对于B，由单调函数定义可判断单调性；对于CD，赋值法结合是奇函数，可判断选项正误.
【详解】对于A，令，有，所以，
再令，则，所以，所以为奇函数，故A正确；
对于B，设，.
，，，所以，
即，在上增函数，故B错误；
对于C，令，注意到，有.
由A分析可得，，.
所以，故C正确；
对于D，注意到.由C分析，
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合的子集个数为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数．
【详解】方法一、列举法 ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n时，其子集个数为 ，所以集合的子集个数为8．
【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题．
13. 若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是____.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数解析式，利用指数函数单调性求解.
【详解】因为在函数（且）的图象上，
所以，解得，
所以，
故的单调递减区间是，
故答案为：
14. 黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为.
若定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则______.
【答案】##.
【解析】
【分析】由题可得关于对称，又关于对称，可得的一个周期为4，然后由黎曼函数的定义可得答案.
【详解】由可得，可知关于点对称，
由为偶函数，可得,可知关于直线对称，
由，
所以4为函数的一个周期.注意到，
则，，，
,
，从而.
注意到，则
.
故答案为：.
四、答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值
（1）；
（2）.
【答案】（1）18； （2）
【解析】
【分析】（1）利用无理数指数幂的运算法则计算即可；
（2）利用分数指数幂的运算法则计算即可.
【小问1详解】
由；
【小问2详解】
由
.
16. 已知集合，.
（1）求A；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先化简分式，再应用一元二次不等式计算求解；
（2）由得，再根据集合间关系列式计算求实数t的取值范围.
【小问1详解】
因为，化简得，
所以，所以或，
所以；
【小问2详解】
因为，，所以，
因为，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，又因为，所以，所以，
所以，所以，
综上，实数的取值范围为.
17. 某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量X的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示：
（1）求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式；
（2）考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，）
【答案】（1）；
（2）9万件
【解析】
【分析】（1）由题目数据可得，据此可得解析式；
（2）由（1）解析式结合题意与对数运算知识可得答案.
【小问1详解】
由题可得，由随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，可得，则，则，则解析式为：
【小问2详解】
由（1）可得
.
则至少需要订购9万件商品.
18. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）已知正实数a，b满足.
①求值；
②若存在满足条件的a，b，使得成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）奇函数；证明见解析
（2）①3；②
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义判断证明；
（2）①先利用函数单调性定义证明为R上的减函数，结合函数奇偶性化简，得解；②利用基本不等式求出的最小值，得解.
【小问1详解】
因为函数的定义域为R，
又
，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
①任取，且，
，
，，
则，，即，
，即在上单调递减，
又为R上的奇函数，所以为R上的减函数.
由，即，
，即.
②，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
若存在满足条件的，使得成立，所以，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数，.（注：e=2.71828…是自然对数的底数）
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且实数，满足，，
①证明：；
②若，满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性求解不等式即可；
（2）①由，，得到，，结合对数的运算性质得到，通过，等式不成立，即可求证；②由
，得到，构造函数由其单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，即为，
化简得，
解得；
【小问2详解】
①由题意可得，，，.
当时，，，矛盾，
当时，，，矛盾，
所以；
②
，
所以，
令
因为在时，，
且，由解析式可知其在单调递增，
又在时，，且单调递增，
所以在上单调递增，且，所以，
即的最小值为.
x（万件）
1
2
3
4
W
80
73
66.7
61.03