浙江省2024_2025学年高一数学上学期期中试卷含解析

这是一份浙江省2024_2025学年高一数学上学期期中试卷含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因，，
所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.
【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，
所以命题“，”的否定为，.
故选：D.
3. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解.
【详解】因为为单调递增函数，所以，则，
因为增函数，所以，则，
综上，.
故选：A.
4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. 14C. 15D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用奇偶函数的定义判断得的奇偶性排除AB，再利用指数函数的性质分析得的正负情况，从而排除C，由此得解.
【详解】对于，其定义域为，
又，则是奇函数，排除AB，
当时，，，所以，排除C，
又选项D的图象满足上述性质，故D正确.
故选：D.
6. 设，“”是“方程在区间上有两个不等实根”的（ ）条件.
A. 充分必要B. 充分不必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.
【详解】当时，取，
则方程为，显然无解，即充分性不成立；
当方程在区间上有两个不等实根时，
则，即，则，
此时成立，即必要性成立；
所以前者是后者的必要不充分，故C正确.
故选：C.
7. 中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解.
【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000，
则最大信息传递速率从增加至，
所以
.
故选：B.
8. 已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解.
【详解】因为函数为上的奇函数，当时fx=x2-2x，
令，则，则，
又
所以，则，
设，作出函数的图象，
对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意；
对于B，当时，函数有四个根，
其中，，，；
作出与、、与的图象，如图，
显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确；
对于CD，当时，函数有两个根，其中，，
与选项B同理可知与、各有一个交点，
则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.
【详解】因为，
选项A：，所以，故A说法正确；
选项B：，
当或时，，即；
当时，，即，故B说法错误；
选项C：当时，，故C说法错误；
选项D：因为，所以，故D说法正确；
故选：AD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 关于原点对称
C. 在上单调递增
D. 在上的最大值、最小值分别为、，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A，构造函数，研究的性质判断B，利用的单调性与奇偶性判断CD，从而得解.
【详解】对于A，，
所以，则，
即恒成立，所以的定义域为，
且当趋于无穷大时，接近于0，
当趋于无穷小时，趋于无穷大，
所以的值域为，故A正确；
对于B，因为，
令，则，易知的定义域为，
又，
所以为奇函数，关于原点对称，即关于原点对称，故B正确；
对于C，因为在上递减，
而将的图象向右平移一个单位可得的图象，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D，因为在上递减，
且为奇函数，则，
在上为减函数，
而将的图象向右平移一个单位可得的图象，
在上为减函数，即在上单调递减，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数满足：对于，都有，且，则以下选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法，结合条件分析得的值，从而判断AB，利用赋值法，结合AB中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD，从而得解.
【详解】对于B：令，则
令，则所以
因为，所以，
令，则，故B正确；
对于A：由选项B可得，所以或，
若，则，
所以，这与矛盾，舍去；
若，则，解得，
因为，所以，，故A错误；
对于C：令，则，
因为f1=0，，所以，所以为偶函数，
令，则，
即，所以，故C正确；
对于D：由选项C知，所以，
又为偶函数，所以，即fx+2=-fx，
所以fx+4=-fx+2=fx，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数式的意义即可求解.
【详解】要使函数有意义，则，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，，.以下描述正确的是______.（请填写序号）
①若，则，②若，则，
③是上的奇函数，④在上单调递增.
【答案】①②
【解析】
【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.
【详解】因为表示不小于最小整数，
则有且，即，
对于①，，则，即，故①正确；
对于②，令，则不等式可化为，解得，
又为整数，则或，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以，则，故②正确；
对于③，因为，则，，
则不是上的奇函数，故③错误；
对于④，因为，则，，即，
所以在上不单调递增，故④错误.
故答案为：①②.
14. 已知，满足，则的最小值为______
【答案】2
【解析】
【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，令，则，
解得，，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.
（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
16. 已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合；
（2）利用集合间的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解.
【小问1详解】
由，得，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，，
当时，，得，满足条件；
当时，且，解得；
综上所述，m的取值范围是.
17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与使用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是元.
【解析】
【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.
（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.
【小问1详解】
依题意，
.
【小问2详解】
当时，，则当时，取得最大值；
当时，
令，，函数在上单调递减，
当时，，此时，取得最大值，而，
因此当时，，
所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是元.
18. 已知函数为奇函数，
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解；
（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；
（3）利用的奇偶性与单调性，将问题转化为，从而得解.
【小问1详解】
因为为奇函数，且定义域为，
所以，则，解得，此时，
则，即为奇函数，
所以.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，则，
则
，
所以，故在上单调递增.
【小问3详解】
因为，
所以，
则，即，解得，
所以的解集为.
19. 已知函数，，
（1）若，求关于方程的解；
（2）若关于的方程有三个不同的正实数根，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得由，分类讨论与两种情况去掉绝对值即可得解；
（2）（i）分段讨论的解析式，结合对勾函数的性质分析得的单调性，进而得到关于的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得与关于的表达式，进而得解.
【小问1详解】
当时，，
则由，得，
当时，则，即，解得或（舍去）；
当时，则，即，无实数解，
综上，.
【小问2详解】
（i）因为，
当时，，
当时，，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
易知在上单调递增，
当时，则在上单调递增，在上单调递增，
又当时，，所以在上单调递增，
故方程不可能存在3个不同正实根，
所以，则在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
故，解得，
即的取值范围为；
（ii）是方程，即的两个根，故，
是方程的较大根，即的较大根，
则且在区间上单调递减，
所以.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.