浙江省宁波市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析 (1)

这是一份浙江省宁波市2025_2026学年高一数学上学期期中试卷含解析 (1)，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题列出的四个备选项中只有一个是
符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ．
故选：A
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“ ， ” 全称量词命题，
该命题的否定为“ ， ”.
故选：B.
3. “ ”是“a > b > 0”的一个（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】应用指数函数单调性结合充分条件及必要条件定义判断即可.
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【详解】因为 是单调增函数，且 ，所以 ，
“ ”即 ，不能推出“a > b > 0”，
“ ”可以推出“ ”；
“ ”是“ ”的一个必要不充分条件.
故选：B.
4. 不等式 的解集是（ ）
A. { 且 } B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分式不等式作等价转化，进而求解即可.
【详解】 ，
所以不等式的解集为 .
故选：D.
5. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数函数与幂函数的性质进行比较即得.
【详解】由指数函数的单调性，可得 ，
即 ，
因为函数 在 上为增函数，且 ，
则 ，即 .
故 .
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故选：D.
6. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】探讨给定函数的奇偶性及在 上的图象特征，进而判断得解.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，即函数 是奇函数，
其图象关于原点对称，排除 AB；
当 时， ，其图象是开口向上的抛物线 在 轴右侧部分，排除 D，C 满足.
故选：C
7. 已知函数 ，若对于任意的 ， ，且 ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意将 转化为 ，分离参数 a，可求得
的取值范围.
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【详解】由题可知， ， .
代入 ，得 .
化简，得 .
因为 ， ，且 ，所以 .
所以 .
因为 恒成立，所以 .
所以 的取值范围是 .
故选：C.
8. 已知关于 的方程 恰有两个不同的解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 讨 论 和 时 的 情 况 ， 时 ， 等 价 于 或
，分别解这两个方程，结合方程的根的个数，即可确定答案.
【详解】当 时，由于 ，则 ，此时 无解；
当 时， 等价于 或 ，
对于 ，可得 ，
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令 ，即 ，解得 ，
此时 有两个解；
对于 ，可得 ，
令 ，即 ，即 或 ，
解得 ，（由于 ， 舍去），
当 ， ，当 ， 有两解，
综合上述可知： 时， 有两个解，
时， 有一个解，
时， 有两个解，
则 时， 有三个或四个解，不符题意；
由于关于 的方程 恰有两个不同的解，故 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：A
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题列出的四个备选项中有多项是符
合题目要求的，部分选对得部分分，错选得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 为奇函数
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B. 与 表示同一函数
C. 已知函数 ，则 的定义域为
D. 函数 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断 A，根据同一函数的概念判断 B；根据抽象函数法则求解判断 C，换元法求
解函数值域判断 D.
【详解】对于 A，函数 定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 不是奇函数，错误；
对于 B，函数 与 的定义域都为 R，且 ，即两个函数的对应法则相同，
所以 与 表示同一函数，正确；
对于 C，对于函数 ， 因为 ，所以 ，即 的定义域为 ，
对于函数 ， ，所以 ，解得 ，所以 的定义域为 ，正确；
对于 D，令 ，则 ，则函数为 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，正确.
故选：BCD
10. 已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为 1
C. 若 ，则 的最小值为 8
D. 若 则 的最大值为 4
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【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式分析判断 A,B,C，用换元法结合二次函数在给定区间上的值域，判断 D.
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
由 ，得 ,
所以 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以选项 A 正确；
对于 B， ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.
显然 不成立，所以 的最小值不为 1，所以选项 B 不正确；
对于 C，因为 ， ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 8，所以选项 C 正确；
对于 D，因为 ， ，且 ， 所以 ，且 .
所以 .
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 的最大值为 4，所以选项 D 正确.
故选：ACD.
11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数
，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 ，且当 时有
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，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 函数 的最小值是 0
C. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则
D. ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接验证 A 选项即可；求得 ，利用换元法求得 的最
小值判断 B 选项；分析函数 的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为 在 上恒成立，
然后按照 和 分类讨论求解范围判断 C 选项；当 时，由 化简得出
，由此可判断 D 选项.
【详解】对于 A，
，所以 ，正确；
对于 B，
，
令 ，当且仅当 即 时等号成立，
则 ，因为 在 上单调递增，
故 时， 有最小值为 ，
即函数 的最小值是 0，正确；
对于 C，对任意的 ， ，故函数 的定义域为 ，
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，即函数 为奇函数，
任取 、 ，且 ，则 ，
所以 ，
即 ，故函数 为 上的增函数，且为奇函数，
不等式 在 上恒成立，
则 ，
函数 为 上的增函数，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，当 时， 即 ，不合题意；
当 时，由题意 ，解得 ，综上 ，错误；
对于 D， ，
当 时，由 整理可得 ，
即 ，故 ，正确.
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，共 15 分）
12. _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的运算求解即可.
【详解】
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，
故答案为： .
13. 设 ， 且满足 ，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】构造函数 ，分析判断其单调性与奇偶性，从而由题设条件得到
，从而求得 的值.
【详解】依题意，设 ，其定义域为 ，
因为 ， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 为奇函数，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即有 .
故答案为：
14. 已知集合 ，其中 .若存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则
的取值集合为______.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 先 得 到 ， ， 根 据 得 到 不 等 式 组 ， 求 出
，求出 ，得到答案.
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【详解】 ，显然 ，故 ，
因为 ， ，则 ，
又 为正数，则 ，其中 ，
结合题设可得 为 的子集，
因为 ，则 且 ，
由 得 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值集合为 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分）
15. 设集合 ， .
（1）若 ，求 的值及集合 ；
（2）若 为实数集，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，由此可得关于 的方程求解并验证即可得；
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（2）由 得 ，按集合 中元素的个数分类讨论即可求得.
【小问 1 详解】
， .
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，解得 或 .
验证：当 时， ，
则 ，满足题意；
当 时， ，
则 ，不满足题意.
综上可知，若 ，则 ，此时 .
【小问 2 详解】
若 ，则 ，又 ，
①当 时，则关于 的方程 没有实数根，
则 ，解得 ，
故当 时， 满足题意；
②当 ，即 时，
若集合 中只有一个元素，则 ，
即当 时， ， ，满足题意；
若集合 中有两个元素，则 ，
即当 时，要使 ，则 ，
所以 和 是方程 的两根，
则由韦达定理得 ，解得 ，满足条件 .
综上所述， 或 .
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16. 已知幂函数 偶函数，且在区间 上单调递增.
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ；
（i）若 ，试讨论 的最小值；
（ii）若函数 定义在区间 上，试求 的最小值 .
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列关系式求 即可；
（2）（i）按照 和 ，结合二次函数的图象与性质求 的最小值即可；
（ii）分别在 ， ， 条件下，结合二次函数的单调性求函数 在区间 上
的最小值即可.
【小问 1 详解】
因为幂函数 在区间 上单调递增，
所以 ，故 或 1，
当 时， 不满足偶函数，故舍去；
当 时， 满足偶函数，
故 ；
【小问 2 详解】
（i）因为 ，
由（1）可得 ，
当 即 时， ，则 ，
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所以 的最小值即 的最小值 ，且在 时取到；
当 即 或 时， 的最小值为负数，
故 的图象是将 的图象位于 x 轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变，
故此时 的最小值为 ；
综上， ；
（ii）函数 的图象的对称轴为 ，
当 即 时，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
当 即 时，
函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
当 即 时，函数 在区间 上单调递减，所以 ，
综上所述：
17. 某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需另外增加成本 100 元，公司每
月生产量为 （单位：台），已知营业额 （单位：元）满足函数：
（1）将每月投入的总成本 表示为月产量 的函数；
（2）将每月利润 表示为月产量 的函数（利润=营业额-总成本）；
（3）当月产量 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1） ， ；
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（2） ；
（3）当月产量为 500 台时，公司所获利润最大值为 5 万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求出 与 的函数关系.
（2）根据给定的关系，结合（1）写出分段函数的解析式即可.
（3）由（1）的解析式，结合二次函数及基本不等式分段求出最值，再比较大小即可得解.
【小问 1 详解】
依题意，每月投入的成本 与月产量 的函数关系为： ， .
【小问 2 详解】
由（1）及 ，
得利润 .
【小问 3 详解】
由（2）知，当 时， ，
则当 时，利润 取得最大值 5000 元；
当 时， ，
当且仅当 时，利润 取得最大值 50000 元，而 ，
所以当月产量为 500 台时，公司所获利润最大值为 5 万元.
18. 已知函数 .
（1）求 的定义域和值域；
（2）判定函数 的单调性，并用定义证明；
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（3）若对 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
【答案】（1）定义域 ；值域
（2）函数 在 R 上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的值域求解函数定义域，根据指数函数的值域及不等式的性质求解函数的值域；
（2） ，利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）根据函数 在 R 上单调递增，将不等式 恒成立转化为不等式
恒成立，则 ，解一元二次不等式即可得解.
【小问 1 详解】
对于函数 ，因为 ，所以 恒成立，
所以函数 定义域 ；
，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即函数 的值域 ；
【小问 2 详解】
函数 在 R 上单调递增，证明如下：
，任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
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所以 ，即 ，
所以函数 在 R 上单调递增；
【小问 3 详解】
对 ， ，且 ，不等式 恒成立，
即不等式 恒成立，
由（2）知函数 在 R 上单调递增，因为 即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
19. 对于定义在实数集 上 函数 ，给出如下的三个定义：
①记 ， ， ， ， ，
其中 .
②对任意的区间 ，记集合 ，并规定 .
例如：若 ，则 ；
③若定义在 上的函数 满足对任意的区间 ，都存在正整数 ，使得 ，则
称 为区间 上的“ 阶交汇函数”.
（1）若函数 ，求 ；
（2）若 ，求 并判断 是否为 上的“2 阶交汇函数”；
（3）设 ，若 ，试证明对任意的区间 ，总存在正整数 ，使得
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为 上的“ 阶交汇函数”.
【答案】（1）
（2） ，是
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数新定义求解即可；
（2）利用一次函数的单调性求值域，按照“2 阶交汇函数”定义判断即可；
（3）先根据分段函数性质证明 ，然后分析得到对任意的 ， ，
，进而根据函数新定义证明即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ；
小问 2 详解】
因为函数 在 上单调递增，所以当 时， ，
所以 ，当 时， ，
所以 ，因为 ，
所以 为 上的“2 阶交汇函数”.
【小问 3 详解】
对于任意有限的区间 ，记 表示区间 的长度，
如果一个集合 是若干个区间的并集，则 等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间 ， ， ，
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不妨设 ， ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ，
，所以 ，
对于任意的区间 ，显然存在正整数 ，使得 ，
因此在 ， ， ， （它们的长度和大于 1）中，
必然存 正整数 ， ，使得 ，
因此必存在 ， ，使得 ，
又 ，则 ，
则当 时， ，
当 时， ，
又 ，因此对任意的 ， ， ，
所以 ， ， ， ，
这表示 ，取 ，
所以对任意的区间 ，存在正整数 ，使得 ，
即对任意的区间 ，存在正整数 ，使得 为 上的“ 阶交汇函数”
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