山西省晋中市部分学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省晋中市部分学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．5
5．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10B．3C．D．
6．已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．过点作的切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．
B．点A关于平面对称的点的坐标为
C．若，则
D．若，则
10．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为30°
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
12．若直线和直线垂直，则实数m的值为 .
13．圆在点处的切线方程为 ．
14．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 .
四、解答题
15．已知菱形的中心为点边所在直线的方程是，对角线所在直线的方程是.
(1)求对角线所在直线的方程；
(2)求边所在直线的方程.
16．如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，．
(1)用，，表示；
(2)证明：．
17．已知圆与直线相交于不同的、两点，为坐标原点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
18．如图,矩形所在平面与平面垂直,且为上的动点.

(1)当为的中点时，求证：；
(2)若，在线段上是否存在点，使得二面角的大小为.若存在,确定点的位置，若不存在，说明理由.
19．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
1．B
根据斜率的两点式公式和定义求解.
【详解】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，
又，所以.
故选：B
2．A
根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】当时，，则；
若，则，解得或.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．B
利用点与圆的位置关系列式求解即得.
【详解】由点在圆的外部，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
4．C
根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可.
【详解】由向量，，且，
得，则，则.
故选：C
5．C
利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.
【详解】由题得，
所以到平面的距离为，
故选：C.
6．A
证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值.
【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴，
∴点为中点，即
如图：
在圆柱中可得，，
∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∴，，
设直线与的夹角为，则.
故选：A.
7．C
根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】由，得到，
所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点，
当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），
由图可知，实数的取值范围是，
故选：C.
8．B
求出和的长以及夹角即可求解数量积.
【详解】由题可知，，，
则，
故
故选：B.
9．ACD
根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D.
【详解】对于A，由题意，A正确；
对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反，
因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误；
对于C，若，则，所以，C正确；
对于D，若且，则，解得，D正确，
故选：ACD．
10．ABC
由斜率公式求出直线AB的斜率即可判断A，
根据两条直线垂直求出a，进而判断B，
利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C，
作B关于x轴的对称点C，进而利用对称性得到答案，进而判断D.
【详解】对A，，故A错误；
对B，若两条直线垂直，则2a-3=0，得，故错误；
对C，直线可化为，则两条直线间的距离，故C错误；
对D，如图，设点B关于x轴的对称点为C（-1，-1），
则，当且仅当A,P,C三点共线时取“=”，故D正确.
故选：ABC.
11．ACD
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
12．1
根据两条直线垂直的充要条件得，解方程即可得答案；
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得
故答案为：
13．
先求过圆心和点P的直线斜率，然后可得切线斜率，再由点斜式可得.
【详解】圆心为，，所以切线斜率为，
所以直线方程为，即
故答案为：
14．
由，平方转化为向量的数量积运算．
【详解】由已知，，,，
所以
，
所以,
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）由，可设，将把代入直线的方程，求得，即可求得直线的方程；
（2）联立方程组，求得的坐标，设为，根据中点公式，求得，再联立方程组，取得，结合直线的两点式方程，即可求解.
【详解】（1）解：因为四边形为菱形，则的对角线互相垂直，即，
因为对角线所在直线的方程是，可设，
把代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为.
（2）解：联立方程组，解得，即，
设点的坐标为，
因为，且为的中点，可得且，
解得，即，
再联立方程组，解得，即，
所以边所在的直线方程为，即.
16．(1)
(2)证明见解析
（1）根据空间向量的运算求得正确答案.
（2）通过计算来证得.
【详解】（1）因为为正三角形，点M为的重心，所以N为BC的中点，
所以，，
所以．
（2）设三棱柱的棱长为m，
则，
所以．
17．（1）；（2）.
（1）利用圆心到直线的距离，求出实数的取值范围；
（2）若，则圆心到直线的距离，即可求实数的值.
【详解】（1）圆的圆心为半径为，
圆与直线相交于不同的两点，，
圆心到直线的距离，
；
（2），
所以三角形是腰长为的等腰直角三角形
圆心到直线的距离，
.
18．(1)证明见解析；
(2)在线段上距点处
【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，
平面，故可以为原点,所在直线轴,建立空间直角坐标系如图.

不妨设，，则，
从而，于是，.
（2）设，，则，
所以，
易知向量为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即，
解得，令，则，从而，
依题意，即，解得（舍去）或，
所以点在线段上距点处.
19．(1)；
(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【详解】（1）由题意得，∴；
（2）设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.