四川省自贡市2026届高三上学期12月第一次诊断性测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省自贡市2026届高三上学期12月第一次诊断性测试数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．4B．C．2D．
3．若，则（ ）
A．1B．3C．9D．10
4．等比数列中，，，则（ ）
A．27B．81C．243D．729
5．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．已知，若，，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
7．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
8．若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
9．将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期是B．
C．在单调递增D．的图象关于点对称
10．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以下说法正确的是（ ）
A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者
B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数
C．在未患病者中，指标的第25百分位数为76.5
D．指标临界值c越高，漏诊率越低，误诊率越高
11．定义域为的函数，以下说法正确的是（ ）
A．使得恒成立的函数存在且有无穷多个
B．使得恒成立的函数存在且有无穷多个
C．存在在上单调递增的函数使得恒成立
D．存在在上单调递减的函数使得恒成立
三、填空题
12．若非零向量、的夹角为，且，则 ．
13．若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为 ．
14．若函数有3个零点，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求a；
(2)若的面积为，求AB上的高CD．
16．从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲队队员投中的概率p；
(2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望；
(3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较与的大小．
17．三棱锥中，，，，，，．
(1)求三棱锥的体积；
(2)若M是PC的中点，求证：；
(3)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．
18．设数列的前n项和为．
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由．
19．设定义在上的函数，导函数的图象关于y轴对称，当时，的极大值为．
(1)求的解析式；
(2)点M在直线上，过点M作曲线的两条相互垂直的切线，求M的坐标；
(3)当时都有直线（a，b为实数），使得曲线与曲线分别在直线l的上下方恒成立，求b的取值范围及a，b满足的不等关系．
参考答案
1．C
【详解】依题意，集合，而，
所以.
故选：C
2．D
【详解】由，得，所以.
故选：D
3．C
【详解】.
故选：C
4．B
【详解】设等比数列的公比为，
，，
两式作比可得，
又
故选：B
5．B
【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种，
元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种，
所以.
故选：B
6．A
【详解】由，得，由，得，
则，即，又，因此，即，解得，
所以.
故选：A
7．D
【详解】由随机变量，且，得，解得，
由，得
，当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为.
故选：D
8．A
【详解】函数，当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，
解得，所以当时，取得最大值4.
故选：A
9．AB
【详解】依题意，，
对于A，的最小正周期是，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，因此函数在取得最大值1，
在上不单调递增，C错误；
对于D，由，得的图象关于点不对称，D错误.
故选：AB
10．ABC
【详解】根据临界值c的定义，将该指标大于c的人判定为阳性，所以A正确；
在患病者的该指标的频率分布直方图中，
可知，，
则中位数为，
平均数为，
所以B正确；
在未患病者的该指标的频率分布直方图中，
可知，，
即第25百分位数为76.5，所以C正确；
当时，患病者该指标为，
则的患病者为漏诊，的未患病者为误诊，
根据该指标的频率分布直方图可知，c越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D错误；
故选：ABC.
11．AD
【详解】A．设，则，则恒成立，所以存在且有无穷多个，A选项正确；
B．使得成立，令，则，因为
矛盾，B选项错误；
C．若存在上单调递增的函数使得恒成立，则，即
故当时，，故，故，所以，矛盾，故C选项错误；
D．假设，则在上单调递减，使得恒成立，D选项正确；
故选：AD
12．
【详解】因为非零向量、的夹角为，且，
则.
故答案为：.
13．
【详解】设圆锥的底面半径、高分别为，则该圆锥的母线，
依题意，，则，解得，
由该圆锥体积为，得，则，，
所以该圆柱的高为.
故答案为：
14．
【详解】当函数有3个零点时，即方程有三个解；
当时，方程无解，
即当时，方程有三个解；
设函数且，
，
令，即，解得或，
当时，，则，即，函数在上单调递增，
当时，，则，即，函数在上单调递减，
当时，，则，即，函数在上单调递增，
可知时，，时，，
因为，所以当有三个解时，，即实数k的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)3
(2)
【详解】（1）根据,，可知：
因为，即，
所以，即;
（2），解得，
则，解得，
则，代入，解得
16．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由从甲篮球队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得，
所以甲队队员投中的概率为.
（2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件，
则，的可能取值为，
，，
，
所以X的数学期望.
（3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为，
事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为，
由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中，
得，解得，
由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中，
得，解得，
所以.
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）过点作，使，连接，则四边形是平行四边形，
而，则是矩形，，由，得，
而平面，则平面，又平面，
则，由，，，得，
而，则，而，
于是，即，平面，
因此平面，，
所以三棱锥的体积为.
（2）由（1）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
，，
所以.
（3）由（2）得，
设平面PAC与平面PBC的法向量分别为，
则，令，得，
，令，得，
因此，
所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)存在，正整数为
【详解】（1），当时，
当时，
两式作差可得：，，时，符合上式，
故综上：；
（2）由（1）可知，则，
两式相减得：
数列的前n项和
（3）存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形
由题意得：
不妨设，故三点均在第一象限内，
由可知，,故点恒在线段上，
则由，
即对任意得，恒成立
令，构造函数
则，由单调递增，又
存在使得
即当时，，故函数在区间上单调递减，
当时，，故函数在区间上单调递增；
故至多2个零点，又由，可知存在2个零点，
不妨设，且，.
①若，，此时或，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，时，此时，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得或5；
综上可知，正整数为4，5，6.
19．(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由，得，
因为的图象关于y轴对称，则，
可得，，
当时，的极大值为，可知，
即，解得，
所以函数.
（2）由（1）可知，则，
令，则，
设过点的两条切线切点分别为，则切线斜率分别为，
可知切线方程为，
点代入得，化简得，
同理，
当过点M作曲线的两条切线相互垂直时，可知，即，
当时，，解得，
所以点.
（3）因为，，
所以，，
则在函数图像如下图所示，

由图像可知，
当时都有直线（a，b为实数），使得曲线与曲线分别在直线l的上下方恒成立，
即在，恒成立，恒成立；
设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为，
则函数在上的最小值为，则恒成立，解得，
设函数，则，
令，即，解得，
则当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以函数在的最小值为，则，解得，
可知，
令，画出函数函数图像，如下图所示，

令，解得或，
当时，，当时，
所以，