四川省自贡市普通高中2022届高三数学（理）第一次诊断性考试试卷（Word版附答案）

自贡市普高2022届第一次诊断性考试

数学试题（理工类）

本试卷共6页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1. 全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 复数（，为虚数单位），在复平面内所对应点在上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若的展开式中的系数为15，则（    ）

A. 2 B. 3. C. 4 D. 5

5. 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是据震中100千米处的标准地震仪（周期，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式：，其中表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅．4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（    ）倍．

A.  B. 10 C. 100 D.

6. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

7. 已知三角形的三边长为、、，则三角形的面积为（海伦—秦九韶公式），，若，，，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C. 16 D.

8. 函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 已知等比数列的公比，前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 数列与数列都是等差数列

D. 数列是公差为的等差数列

10. 在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（    ）

A 4 B.

C. 2 D.

11. 已知正实数，，满足，，，则，，之间的大小关系为（    ）

A.  B.

C  D.

12. 定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（    ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若，满足，则的最小值是________．

14. 从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在之间，现将测量体重按照从低到高分成六组：，，…，，下图是频率分布直方图的一部分（缺少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的人数为________．

15. 已知：，对任意在区间上至少存在两个不相等实数、满足，则的最小整数为________．

16. 已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）

17. 在中，，，．

（1）求；

（2）求边上的高．

18. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

19. 已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，________，，．在以下三个条件中任选一个①，②，③，补充在上面横线上，并作答．

（1）求数列，的通项公式；

（2）是否存在正整数．使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20. 下表是弹簧伸长长度与拉力值的对应数据：

（1）求样本相关系数（保留两位小数）；

（2）通过样本相关系数说明与是否线性相关；若是求出与的线性回归方程，若不是，请说明理由．

参考数据和公式：，，，

线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．

21. 已知函数．若有两个零点、．

（1）求的取值范围；

（2）若，证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为（为参数），现以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设、是曲线上两个动点，且满足，求的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）若最小值为3，求最小值．

答案

1-12 CDBBC  AABCC  AD

13. 1

14. 5

15.

16.

17.（1）由正弦定理得，

由于，所以是锐角，所以

（2）由余弦定理得，

，

，

解得或，

设边上的高为，

则，

所以，或.

18.（1）函数定义域为R，求导得：，

则有，而，

所以曲线在点处的切线方程是：.

（2）由(1)知：，当时，，，

而，当且仅当时取“=”，则当时，有最小值1，即当时，，

因此，函数在区间上单调递减，，，

所以函数在区间上的最大值和最小值分别为1和.

19.（1）设等比数列的公比为，，

则解得，所以.

，

设等差数列的公差为，

若选①，则.

若选②，则.

若选③，则.

（2）由于，所以，

，

所以，

，所以正整数的最小值为.

20.（1）依题意，，，

，，

，

所以样本相关系数.

（2）由(1)知，接近于1，说明与具有较强的线性相关关系，

，，

因此，，，

所以与是线性相关，回归方程是.

21.（1）解： 有两个零点，且，

则，

设，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

当，，且，

作出函数的大致图象，如图所示，

所以，

故实数的取值范围为；

（2）证明：设，

，，

由已知，

，

，所以，

，

设，，

则，

设，

则，

当时，，

所以函数在上递增，

，

则，

在递增，又，

，

故．

22.（1），平方相加得，

即

（2）不妨设，，

在曲线上，所以，

，

当时，取得最大值，也即取得最大值.

23.（1）当时，

，

对于不等式，有：

或或，

解得或或，

所以不等式的解集为.

（2）依题意，

，

，

当且仅当时等号成立.