云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：(1)由余弦定理有a2+b2−c2=2abcsC，结合a2+b2−c2=137ab，
可得csC=a2+b2−c22ab=137ab2ab=1314，
因为C∈(0,π)，
所以sinC>0，则sinC= 1−cs2C=3 314，
又因为7sinC+3 3csA=0，
所以csA=−12，
因为A∈(0,π)，
所以A=2π3；
(2)由正弦定理有asinA=csinC，即a 32=c3 314，
故c=37a，
因为a+c=10，
所以a=7，c=3，
由(1)可知a2+b2−c2=137ab，a>b，
即b2−13b+40=0，解得b=5或8，
因为a>b，
所以b=5，
所以△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×5×3× 32=15 34．
16．（15分）
解：(1)设A(x,y)，由|AB|=2|AC|，得 x2+y2=2 (x−3)2+y2，
整理得到(x−4)2+y2=4，又点A不能在x轴上，
所以点A的轨迹T的方程为(x−4)2+y2=4(y≠0)．
(2)由题意可得|BC|=3，当A到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，
此时A(4,2)，所以kAC=2−04−3=2，
AC所在直线方程为y−2=2(x−4)，即2x−y−6=0，
又圆心(4,0)到直线AC的距离d=2 5，半径r=2，
可得|AD|=2 r2−d2=85 5．
17．（15分）
解：(1)取A1C1的中点为S，连接SN,AS，
因为A1S=SC1，B1N=NC1，故SN//A1B1,SN=12A1B1，
由直三棱柱的性质可得AM//A1B1,AM=12A1B1，故SN//AM,SN=AM，
故四边形SNMA为平行四边形，故AS//NM，
而AS⊂平面A1C1CA，NM⊄平面A1C1CA，故NM//平面A1C1CA．

(2)因为∠ACB=90 ∘，故AC⊥CB，故BC= 12−8=2，设AA1=a．
由直三棱柱可得CC1⊥平面ABC，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则C0,0,0,A2 2,0,0,B0,2,0,A12 2,0,a,B10,2,a,C10,0,a，
故M 2,1,0,N0,1,a，且CA1=(2 2,0,a),MN=(− 2,0,a)．
因为MN⊥A1C，故CA1⋅MN=0即−4+a2=0，故a=2(a=−2舍去)，
故CA1=2 2,0,2，MN=− 2,0,2，又CM= 2,1,0．
设平面CMN的法向量为n=(x,y,z)，则{n→⊥MN→n→⊥CM→,
所以− 2x+2z=0 2x+y=0，取n=( 2,−2,1)，
故A1C与平面CMN所成角的正弦值为|n⋅CA1|n|⋅|CA1||=6 7×2 3= 217.
18.（17分）
解：(1)∵f(x+1)为R上的偶函数，f(x)关于x=1对称，
∴f(−2)=f(4)=lg10=1．
又f(−x+1)=f(x+1)，∴f(x)=f(2−x)，
当x1时，f(x)=f(2−x)=lg(2−x+6)=lg(8−x)．
故f(x)=lg(6+x),x≥1lg(8−x),x