山东省济宁市兖州区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（图片版，含答案）含答案解析

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若过点的直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若与共线，则（ ）
A．12B．9C．D．
3．从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ）
A．和不互斥B．和互斥且不对立
C．和不互斥D．和互斥且不对立
4．在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（ ）
A．B．1C．D．
7在棱长为1的正方体中，直线与平面所成的角的余弦值是 （ ）
A．B．C．D．
8．已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（ ）
A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为
C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为
D．“甲或乙被录用”的概率为
10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ）
A．直线过定点
B．半径的取值范围是
C．当时，线段长的最小值为
D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则
11．如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，直线与平面所成的角的正弦值是
D．当时，三棱锥外接球的半径最大值是
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为 .
13．已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是 ．
14．记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程.
16．（15分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局．
(1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率；
(2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率．
17．（15分）如图，在正方体中，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.
18．（17分）已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A．
(1)求圆的标准方程；
(2)求r的值以及点A的坐标；
(3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程．
19．（17分）如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数.

(1)求三棱锥的体积.
(2)若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围.
(3)求四面体的外接球半径的取值范围.
参考答案
12． 13．相离 14．
15．（1）由已知得的中点，即，
边上的中线的两点式方程为，即；分
（2）因为，
又，则，所以，
则直线的方程为，即分
（3）由已知得的中点，即，
因为分别是线段的中点，所以，即，
又，所以，
则直线所在直线的方程为：，即分
16．（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型，
样本空间：共个样本点，
事件含有：分
共12个样本点，故．分
（2）记事件为第局甲胜，，由题意知，
记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：
①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，
因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则
，分
，分
因为，且事件与互斥，
所以，
所以甲恰好胜一局的概率为．分
17．（1），
平面为平行四边形，，
平面，平面，
平面．分
（2）设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，分
设直线与平面所成角为，则．分
（3）正方体棱长为2，同（2）中假设，
，平面的法向量，
点到平面的距离．分
18．（1）设圆，由题意可知，
解得，所以圆的标准方程为分
（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以，
解得或（舍去），分
所以圆的标准方程为，
联立，解得，
所以点的坐标为分
（3）由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即，
圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，分
圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得，分
所以，解得或（舍去），
故直线的方程为分
19．（1）根据题意，，
又，
因为在直三棱柱中，，，
当点是线段上的中点时，平面，
所以点到平面的距离，即三棱锥的高，
所以分
（2）在直三棱柱中，，，，
则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
又，则，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，故，分
又在直三棱柱中，，则平面，
所以平面的法向量为，
又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为：
，
令，因为，则，故，
即，则，即，故，所以分
（3）设四面体的外接球心的坐标为，半径为，
则，
故，
则，所以外接球心的坐标为，
代入得，
即，分
则，当时，取得最小值为，
当或时，，所以，分
所以，当时，取得最小值为，
当时，，所以，所以，
所以四面体的外接球半径的取值范围为分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
A
B
D
A
D
ABD
ACD
BD