广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校2026届高三上学期第一次联考数学试卷含解析（word版）

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一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={xx∣≤2},B={x∣2x−aπ2 , 则 a 的取值范围是( )
A. 0,4 B. 4,6 C. 4,+∞ D. 6,+∞
7. 已知 sinα+csβ=32,csα=sinβ ,则 sinα−β= ( )
A. 12 B. 14 C. 18 D. 116
8. 如图,已知 F1,F2 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点, P,Q 为双曲线 C 上两点,满足 F1P//F2Q ,且 F2Q=F2P=3F1P ,则双曲线 C 的离心率为( )
A. 105 B. 52C. 153 D. 102
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子,记试验的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6} ,事件 M={1,2} ,事件 N={2,3,4} ,则( )
A. M 与 N 是互斥事件 B. M 与 N 是相互独立事件
C. PM∣N=PN∣M D. PMN+PMN=12
10. 如图，在棱长为1的正四面体 ABCD 中，点 O 是顶点 A 在底面 BCD 内的射影， M 为 AO 的中点，则()
A. BM⊥CM
B. BM⊥AD
C. 点 D 到平面 BCM 的距离为 22
D. 三棱锥 M−BCD 的外接球体积为 6π
11. 在平面直角坐标系中,如果将函数 y=fx 的图象绕坐标原点逆时针旋转 α0b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 32 ,且过焦点且垂直于椭圆 C 的长轴的弦长为1 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知过点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,当 △F1AB 的面积最大时,求直线 l 的方程.
17. (本小题15分)
现有 n 张形状相同的卡片,上面分别写有数字 m+1,m+2,⋯,m+nm∈N,n∈N∗ ,将这 n 张卡片充分混合后, 每次随机抽取一张卡片, 记录卡片上的数字后放回, 现在甲同学随机抽取4次.
(1)若 n=8 ，求抽到的 4 个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望. 定义 EXk 为随机变量 X 的 k 阶矩，其中1阶矩就是 X 的期望 EX ,利用 k 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
(i)记每次抽到的数字为随机变量 X ,计算随机变量 X 的 1 阶矩 EX 和 2 阶矩 EX2 .
(参考公式: 12+22+⋯+n2=nn+12n+16 )
(ii)已知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3,8,9,12,试利用这组样本并结合(i)中的结果来计算 n 的估计值 n . n的计算结果通过四舍五入取整数
18. (本小题17分)
已知等差数列 an 与递增等比数列 bn 满足: a1=b1=1,a3=b2,a4+a5=b3 .
(1)求 an 和 bn 通项公式；
(2)保持数列 an 的各项顺序不变，在 ak 与 ak+1 之间插入 bk 个 3k∈N∗ ，使它们与数列 an 的项组成一个新数列 cn ,记数列 cn 的前 n 项和为 Tn ,求 T100 ;
(3) 记 dn=anbn,n=2k−1,1an2−1,n=2k, (其中 k∈N∗ ),证明: i=12ndi