陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月考数学试题

这是一份陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月考数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若线段是成比例线段，且，，，则d的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
3．在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为（ ）
A．B．C．D．
5．在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为、、、四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ）
A．B．C．D．
6．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧是等弧D．等弧所对的圆周角相等
8．如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，四边形内接于，为的直径．若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若，在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ．
13．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为 ．
14．如图，矩形中，点在边上，交于点，如果，，，那么的长为 ．
15．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为 元．
16．如图，反比例函数与直线交于点，点在的图像上，直线与轴交于点，连接，若，则的长为 ．
17．如图，正方形内接于，已知，，的面积分别为，，，那么正方形的边长为 ．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
19．解方程：
(1)
(2)
20．如图，已知矩形，若点，F分别在边上，将沿所在直线翻折，点B的对应点为G点，请利用尺规作图的方法，确定折痕的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．
22．如图，小李和小颖制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘A被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5．
(1)小李转动一次转盘A，指针指向数字为5的概率是；
(2)小李和小颖用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将转盘A转出的数字作为被减数，转盘B转出的数字作为减数，如果差为正数，则小李胜；若差为负数，则小颖胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
23．我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，如图，线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，．从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：，，）
24．如图，是的直径，，于点E，连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求弦的长．
25．“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图所示，演员甲随着秋千绕固定点P往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的C点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分．以地面为x轴，P点所在直线为y轴建系，已知点P坐标为，点D坐标为，点C坐标为，秋千绳长为4米，与y轴形成的夹角为．某次表演中，当时，演员甲在点B处接住了演员乙．此时
(1)点B的坐标为__________；
(2)若抛物线经过点B、C、D，求抛物线y的解析式，并求演员乙能达到的最高高度；
(3)在表演过程中，为保护演员的安全，主办方在其表演区域下方铺设一张平行于地面，高3米的保护网．在（2）的条件下，若点F在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米．
26．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．如图1，中，D为中点，且平分的周长，则称直线是在边上的中分线，线段是在边上的中分线段．
(1)如图2，中，，在边上的中分线段长为__________；在边上的中分线段长为__________．
(2)如图3，中，，是在边上的中分线段，F为中点，过点B作的垂线交于点G，垂足为H，设．
①__________；__________（用b，c表示）；
②之间是否存在等量关系？若存在，请证明；不存在，说明理由；
③若，求的值．
《陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月考数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了比例线段的定义，由题意，线段是成比例线段，即这四条线段按顺序成比例，所以有，将已知值代入求解d即可．
【详解】解：若线段按此顺序成比例线段，
则，
即，
，，，
，
．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
【详解】解：东风洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查求三角函数值，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义（正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边，余弦为邻边比斜边）分别计算各选项即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，，，；
故正确的是D选项；
故选D．
4．C
【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，根据点落入黑色部分的频率稳定在左右，得到点落入黑色部分的概率为，根据概率求出黑色部分的面积即可．
【详解】解：由题意可知：点落入黑色部分的概率为，
∴估计黑色部分的面积约为；
故选C．
5．B
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特点．反比例函数图象上的点满足（常数），计算各点横纵坐标的乘积，找出与其他点乘积不同的点．
【详解】解：∵，，，，
∴点不与另3个点在同一反比例函数图象上．
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可．
【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文，
根据题意，得．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据弦、弧、圆周角的关系及垂径定理，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、相等的弦所对的弧不一定相等，要在同圆或者等圆中才成立，故原说法错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意；
C、在同圆或者等圆中，长度相等的弧才是等弧，故原说法错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
由题意无法证明，
结合选项可知，选项A、B、D的比例式正确，不符合题意；选项C的比例式不正确，符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了圆的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，根据直径所对的圆周角是直角可得的度数，则可求出的度数，据此根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；判断出两点与对称轴的距离的远近，根据增减性判断⑤，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵，在该二次函数的图象上，，
∴，
即的中点在对称轴的右侧，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∴；故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．
11．5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：∵a， b是一元二次方程 的两个实数根，
∴由根与系数的关系，得， ，
∴ ，
故答案为：5．
12．/−1+5
【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是．
根据黄金分割的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即
解得：或（舍去）．
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵与位似，
∴与相似，
∵相似比为，
∴与的周长比为，
∵的周长为12，
∴的周长为6；
故答案为：6．
14．
【分析】由题可知过F作BC的垂线即可构造满足三垂直模型的相似三角形，再利用相似三角形的性质“相似三角形对应边的比值相等”和勾股定理“”求出AF的长度即可求出FD的长度．
【详解】如图，作交BC于点H
矩形，
，
（三垂直模型）
由题，，
，

故答案为：
【点睛】本题考查了利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度，熟练掌握相关的性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．
15．1575
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，
由题意得，
，
∵单个利润不能超过成本价的，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∴每周获得的最大利润为元，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，先求出点A的坐标，得到的长，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，
联立，解得或（舍去），
∵反比例函数与直线交于点，
∴
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴将代入得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，利用图形的面积找出等量关系列出方程是解题的关键．
过点作于点，交于点，则，设正方形的边长为，根据正方形的性质得，，，利用三角形的面积公式表示出，，，进而表示出和的长，再利用列出方程，求出的值即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
则，
设正方形的边长为，
根据正方形的性质得，，，
∴四边形是矩形，，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍去），
∴正方形的边长为．
故答案为：．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：
（1）先进行零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可；
（2）先去绝对值，进行特殊角的三角函数值的运算，化简二次根式，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
解得．
20．图见解析
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作垂线，根据折叠的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线，连接，作的中垂线，交于点，交于点即可。
【详解】解：如图，即为所求；
21．见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】证明：∵菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形为平行四边形形，
又，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴四边形为正方形．
22．(1)指针指向数字为5的概率是
(2)这个游戏对双方不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可得出答案；
（2）根据题意画出表格得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6，共4种情况，其中数字为5的有1种，
∴指针指向数字为5的概率是．
（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果，
∴小李获胜的概率为，小颖获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
23．4.4米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示出各边关系，构造方程求解．
过点作于点，于点，在中利用正弦和余弦的定义得到米，米，在中利用正切的定义得到，设米，则米，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
则，
在中，，，
∴（米），（米），
由题意得，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
∵，
∴，
在中，，
设米，则米，
∴米，米，
∴米，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴（米），
答：匾额悬挂的高度的长为4.4米．
24．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用．
（1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则；
（2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
．
，
，
，
．
又，
，
，
，
；
（2）解：连接，，交于点，则，
，
，，
，，，
，
的半径为，
设，则，
由勾股定理，得，
即，
解得，
，
．
25．(1)
(2)，演员乙能达到的最高高度为；
(3)米
【分析】（1）先得出，得，再结合点坐标为，求出，即可得出点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据抛物线的性质求出的最大值，即可作答；
（3）根据题意得到，再求出抛物线与直线的交点，进而求出线段的长度的最小值，即可解答．
【详解】（1）解：过点B分别作轴，作轴，如图所示：
∵绳长为，与轴形成的夹角为，且，
∴，
∴，即，
则，
∵点坐标为，
∴，
则，
即，
∴点的坐标为；
故答案为：；
（2）解：设抛物线的解析式为，
代入、、，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴当时，有最大值，
∴演员乙能达到的最高高度为；
综上，抛物线y的解析式为，演员乙能达到的最高高度为；
（3）解：由（2）得，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
令，则，
解得，，
∴线段的长度至少为（米），
答：线段的长度至少为米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26．(1)4，
(2)①，；②存在，证明见解析；③
【分析】（1）取的中点，连接，易得即为在边上的中分线段，三线合一结合勾股定理求出的长；为中点，为在上的中分线段，作于点，交于点，作于点，根据新定义求出的长，证明，得到，，推出，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可求出的长；
（2）①新定义得到为的中点，，进而求出的长，根据为的中点，得到，为的中位线，进而求出的长，线段的和差求出的长即可；
②过A作于G，根据平行线的性质，得到，根据三角形的外角的性质，等边对等角，推出，进而推出，证明，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论；
③连接，根据题意易得，得到点到的距离相等，进而得到，证明，得到，进而得到，根据，列出关于的关系式，进而求出的值即可．
【详解】（1）解：（1）取的中点，连接，则，
∵
∴，，
∴即为在边上的中分线段，
由勾股定理，得；
如图，为中点，为在上的中分线段，作于点，交于点，作于点，则，，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴；
故答案为：4，；
（2）①∵是在边上的中分线段，
∴为的中点，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，为的中位线，
∴，，；
故答案为：，；
②存在，证明如下：
如图，过A作于G，则：，
由①知：，，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
③如图，连接，
∵，
∴，即，
∴点到的距离相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由②可知：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握新定义，合理添加辅助线，构造特殊图形，全等和相似三角形，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
B
D
D
C
A
C
被减数
减数
2
3
5
6
5
0
1
5
0
1
4
1
2