江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学模拟试卷（含答案）

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（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版八年级上册第一章~第五章。
第一部分（选择题 共12分）
一、选择题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题2分）以下列数组为边长中，能构成直角三角形的（ ）
A．1，1，B．，，
C．D．，，
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可．
【详解】解： A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D
2．（本题2分）如图，如果“马”在点，“车”在点，则“帅”所在点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】解：如图所示，“帅”所在点的坐标是，
故选：
3．（本题2分）下列运算正确的是 （ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数准确分析是解题的关键．
根据平方根和立方根的性质逐项分析判断即可；
【详解】表示算术平方根，结果为4，而非，错误；
负数没有实数平方根，错误；
，，故正确；
，，而，且，故错误；
故选．
4．（本题2分）“行走是吾乡”2025年河南省自行车公开赛进商圈系列赛走进新乡，将新乡的骑行氛围再度点燃．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，x节链条总长度为，则y与x的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查函数关系式，掌握题目中数量关系是正确解答的关键，根据链条的连接规律进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选：
5．（本题2分）已知，图1中直线l及线段上任意一点D，图2是小明同学用尺规作图保留痕迹后的图形．根据小明的作图过程，判断下列结论：①；②；③；④A，E，C三点共线．正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】连接，根据作图可得，则可证明，可得，进而证明，则可得，，即可判断①②；连接，由作图可得，，，证明可得，即可判断③；连接，根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和平行线的性质进行判定即可．
【详解】解：连接，
由作图可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴①②正确，
连接，
由作图可得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴③正确，
连接，
∵，
又∵，
∴，
由作图可得，即是的中点，且，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵且，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和是“内错角”关系，且，
又∵，
∴点在直线，
∴④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、平行线的判定和性质，熟练掌握以上性质是解决本题的关键．
6．（本题2分）如图，桌面上有两摞一样的纸，分别摞有纸张张和张，在两摞纸中间竖直放入直角三角板，其直角顶点C在桌面上，当顶点A 落在右侧纸的上方边沿时，调整左侧纸的位置，使顶点B 恰好落在左侧纸的上方边沿，此时测得，则每张纸的厚度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明则有，，结合，可得，即可求得答案．
【详解】解：为等腰直角三角形，
，．
．
，
．
．
在和中
．
，．
，
．
（张）
．
故选：B．
第二部分（非选择题 共108分）
二、填空题：本题共10小题，共20分。
7．（本题2分）．
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了无理数大小比较和化简绝对值，
根据绝对值的定义，一个数的绝对值是非负的．由于，因此，故其绝对值为其相反数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为．
8．（本题2分）长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，该数据的近似值为精确到十分位）．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度
【分析】本题考查了近似数．精确到十分位，需看百分位数字，，向十分位进一．
【详解】解：的十分位是3，百分位是6．
根据四舍五入法则，百分位数字，向十分位进一，十分位3变为4，因此近似值为．
故答案为．
9．（本题2分）若点和是一次函数图象上的两点，则m与n的大小关系为mn．（填“”“ ”或“=”）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可．
本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
10．（本题2分）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为1，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数
【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点所表示的数．
【详解】解：由图可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴点所表示的数为．
故答案为：．
11．（本题2分）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则．
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键．
连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【详解】解：连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∵的周长是，即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴点H是的中点，
∴．
故答案为：6．
12．（本题2分）平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为，虚像对应点的坐标为，则的值为．
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称的性质以及平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用像与物关于轴对称，得出对应点的横、纵坐标关系．
【详解】解：∵ 像与物关于轴对称，烛焰的坐标为，虚像的坐标为，
∴ ，，
∴ ．
故答案为：．
13．（本题2分）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过E作于F，
∵是边上的高线，平分，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：．
14．（本题2分）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为．
【答案】4
【难度】0.4
【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1．
【详解】解：对2025进行操作：
第一次操作，；
第二次操作，；
第三次操作，；
第四次操作，，
故进行了4次操作后变为1，
故答案为：4．
15．（本题2分）已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、求一次函数解析式、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理．
过作轴，证明，得到，，进而得到点坐标，然后利用的坐标得到的直线方程式为，利用轴,代入方程式得到点坐标，两点轴上坐标值相减即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
过作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同时，，
∴，
∴，，
∴，
∴的坐标为，
根据，，
求得的直线方程式为，
∵，
∴的纵坐标为，
代入方程式得到，，
∴．
故答案为：．
16．（本题2分）如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为．
【答案】或
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点．
是等边三角形，是等边三角形，，
，，
∴是等边三角形，
，
，即，
，
，
是的中点，
，
；
②当时，由①，得，则，与矛盾，
此种情况不成立；
③当时，
如图，过点作，交于点．
、是等边三角形，，
，，
∴是等边三角形，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
三、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算、求值：
(1)计算：；
(2)求的值：．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根、立方根的运算及利用立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，准确进行开方运算．
（1）先分别计算、、的值，再进行加减运算；
（2）通过移项将方程化为立方形式，利用立方根的定义求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
解得．
18．（本题6分）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)若点P在x轴上运动，当PC长度最小时，点P的坐标为______．
【答案】(1)，，；
(2)见解析；
(3)．
【难度】0.65
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、垂线段最短
【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同求解；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）根据垂线段最短求解．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：如图．即为所求；
（3）解：根据垂线段最短可知点
故答案为：
19．（本题6分）如图，，于点D，于点E，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）连接，证明，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴平分．
20．（本题6分）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）；
方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）．
(1)是直角三角形吗？为什么？
(2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由．
【答案】(1)是直角三角形．理由见解析
(2)方案一所修的管道较短，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）由的面积求出，得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
，，
，
是直角三角形；
（2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下：
的面积，
，
，，
∵
方案一所铺设的管道较短．
21．（本题8分）期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下：
∵面积为86的正方形的边长是，且，
∴可设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，．
，可忽略，得，
解得，．
仿照小李的探索过程，解答下列问题：
(1)的整数部分为________；
(2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）．
【答案】(1)13
(2)
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．
（1）判断出，即可解答；
（2）仿照示例画出图形，可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为13，
故答案为：13；
（2）解：示意图如图所示：
∵面积为176的正方形边长为，
且，
∴设，其中，
根据示意图，可得图中正方形面积为，
∵，
∴，
当时，可忽略，
得：，解得：，
即．
22．（本题8分）如图，为等边三角形，点在边上，，点M在的延长线上，，连接，点是和的交点．
(1)求证：为等边三角形；
(2)判断与的位置关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)平行，见解析
【难度】0.65
【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明出，得到，等量代换得到，然后结合即可得到为等边三角形；
（2）证明出，得到，等量代换得到，即可证明出．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴为等边三角形；
（2）解：平行，理由如下：
理由：∵为等边三角形
∴，
∴
又∵
∴
∴
由（1）知
∴
∴．
23．（本题8分）周末，小张与小李相约从学校出发到博物馆参观，小张步行到博物馆，小李慢跑到博物馆．小张先出发分钟，他们离学校的距离（单位：米）与时间（单位：分）的关系如图所示．
(1)小李比小张先到_______分钟，
(2)分别求小张与小李的速度．
(3)在小李到达博物馆之前，小李出发多少分钟后，两人相距米？
【答案】(1)；
(2)小张的速度为米分，小李的速度为米分；
(3)小李出发或分钟后，两人相距米．
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）从函数图象即可求解；
（）利用“速度路程时间”即可求解；
（）分两人相遇前和两人相遇后两种情况分析即可．
【详解】（1）解：从图象可知，小李比小张先到（分钟），
故答案为：；
（2）解：根据速度路程时间可知，
小张的速度为（米分），小李的速度为（米分）；
（3）解：设小李出发分钟后，两人相距米，
两人相遇前： ，
解得；
两人相遇后：，
解得；
综上可知：小李出发或分钟后，两人相距米．
24．（本题8分）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动．
(1)用不带刻度的直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）：过点，求作，垂足为；
(2)在（1）作图的基础上，若测得，，，，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了尺规作图—垂线、勾股定理的运用，作出正确的图形是解决本题的关键．
（1）以点D为圆心，以任意长为半径为弧，交于点和点，以F为圆心，以大于为半径作弧，以G为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于一点H，连接射线，交于点E，此时；
（2）连接，设，在中，运用勾股定理得，再在中，运用勾股定理得，进而即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示；
（2）解：连接，设，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
即点到的距离长为．
25．（本题8分）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证：
(3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；
（1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证；
（2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证；
（3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，取的中点，连接，
同（1）可得是等边三角形，
∵
∴
同理可得，
∴，
∴
∴
（3）解：如图，取的中点，连接，
同理可得，
∴，
∵，，
设，则，，，
∴
∴
解得：
∴
26．（本题12分）定义：我们将形如的函数称为一次函数的“伴随函数”，例如：是一次函数的“伴随函数”．
(1)如图1，若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，其中．求此一次函数的“伴随函数”表达式；
(2)若（1）中“伴随函数”的图象交轴于点，取线段中点，过点作直线轴，在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标并说明理由；
(3)在线段上取一点，使得的值最小．将点向右平移一个单位长度得到点，连接，在直线上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标并说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)存在，或或
【难度】0.4
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题进行分类讨论是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可；
（2）设直线l交x轴于点H，交于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明后，根据的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可；
（3）在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，当A、P、T共线时，的最小值为的长，可得的最小值为的长，利用直角三角形的性质结合勾股定理可求得点P的坐标为，求出直线的解析式为，可得，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为，
∴此一次函数的“伴随函数”表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
设直线l交x轴于点H，交于点K，
令，则，
∴，即，
∵，取线段中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
作点M关于x轴的对称点，如图，
此时，，
∴，
∴；
综上，点M坐标为或；
（3）解：存在，理由如下：
在x轴下方作，交y轴于点F，作于点T，连接，
∴，即，
当A、P、T共线时，的最小值为的长，
∵，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵将点向右平移一个单位长度得到点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵点Q在直线上，
∴，
∵，
∴，
当即时，
∴，解得，
∴，
∴点Q的坐标为或；
当即时，
∴，解得或（舍），
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或或．
27．（本题12分）【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……．
【实践探究】
（1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到．
【问题解决】
（2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值．
【答案】（1）图见解析，性质：①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x3时，y随x的增大而增大（合理即可）；右，3；
（2）①或；②
【难度】0.4
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、矩形性质理解
【分析】（1）利用描点法画出图象即可；根据图象即可得出结论；
（2）①根据（1），分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，根据题意结合图象求解即可；②分k>3时，当−1≤k≤3时，当k