2.3.3升幂排列与降幂排列（课件）2025-2026学年2024华东师大版七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：2.3.3 升幂排列与降幂排列学科：数学年级：七年级上册版本：华东师大版副标题：规范多项式的书写与运算顺序幻灯片 2：复习回顾 —— 多项式的核心概念回顾 1：多项式的项与次数项：多项式中的每个单项式（含符号），如\(3x^2 - 2x + 5\)的项为\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)次数：多项式中最高次项的次数，如\(x^3 - 2x^2y + y^3\)的次数为 3回顾 2：多项式的书写需求未排列的多项式：如\(5 - x^3 + 2x^2\)，项的顺序混乱，不便于观察次数、合并同类项等运算提问：如何按一定规律排列多项式的项，让其更简洁、易读？升幂排列与降幂排列的具体规则是什么？幻灯片 3：升幂排列与降幂排列的定义核心前提：排列需 “针对某一字母”（多项式含多个字母时，需明确以哪个字母为基准）1. 降幂排列定义：把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的降幂排列关键词：“指数从大到小”（最高次项在最前，依次排列至常数项）示例：多项式\(5 - x^3 + 2x^2\)按 x 的降幂排列为\(-x^3 + 2x^2 + 5\)（x 的指数：3→2→0）2. 升幂排列定义：把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的升幂排列关键词：“指数从小到大”（常数项在最前，依次排列至最高次项）示例：多项式\(5 - x^3 + 2x^2\)按 x 的升幂排列为\(5 + 2x^2 - x^3\)（x 的指数：0→2→3）注意：排列仅改变项的位置，不改变项的符号和多项式的值（如\(-x^3 + 2x^2 + 5\)与\(5 + 2x^2 - x^3\)的值相等）若多项式中某一字母的指数相同（同类项，后续学习），项的顺序可互换（如\(x^2 + xy + y^2\)按 x 的升幂排列，\(y^2\)与\(xy\)的 x 指数均为 0 和 1，顺序可调整）幻灯片 4：多项式排列的具体步骤步骤 1：确定排列基准字母明确以哪个字母的指数为标准（题目未指定时，通常选择出现次数多或最高次项含有的字母）示例：多项式\(2x^2y - 3xy^2 + x^3 - y^3\)，可按 x 排列或按 y 排列步骤 2：标出每一项中基准字母的指数逐一分析多项式的每一项，标注基准字母的指数（常数项的指数为 0）示例：按 x 排列多项式\(3x - x^3 + 5 - 2x^2\)，各项 x 的指数：\(3x\)（1）、\(-x^3\)（3）、\(5\)（0）、\(-2x^2\)（2）步骤 3：按指数顺序重新排列项降幂排列：按指数从大到小排序，依次书写各项（带符号移动）升幂排列：按指数从小到大排序，依次书写各项（带符号移动）步骤 4：检查排列结果确认项的符号未遗漏、指数顺序正确、多项式的值不变示例演示：将多项式\(2x^2y - 3xy^2 + x^3 - y^3\)按 x 的降幂排列步骤 1：基准字母为 x步骤 2：各项 x 的指数：\(2x^2y\)（2）、\(-3xy^2\)（1）、\(x^3\)（3）、\(-y^3\)（0）步骤 3：按 x 指数从大到小排列：\(x^3\)（3）→\(2x^2y\)（2）→\(-3xy^2\)（1）→\(-y^3\)（0），结果为\(x^3 + 2x^2y - 3xy^2 - y^3\)步骤 4：检查符号正确，指数顺序无误，排列完成幻灯片 5：基础题型 1—— 单一字母的升幂与降幂排列例题 1：将多项式\(4x - 2x^4 + 3x^2 - 1\)分别按 x 的降幂排列和升幂排列解答：步骤 1：确定基准字母 x，标注各项 x 的指数：\(4x\)（1）、\(-2x^4\)（4）、\(3x^2\)（2）、\(-1\)（0）降幂排列（指数 4→2→1→0）：\(-2x^4 + 3x^2 + 4x - 1\)升幂排列（指数 0→1→2→4）：\(-1 + 4x + 3x^2 - 2x^4\)例题 2：将多项式\(a^3b - 5a^2b^2 + 3ab^3 - b^4 + 2a^4\)按 a 的降幂排列解答：步骤 1：基准字母 a，标注各项 a 的指数：\(a^3b\)（3）、\(-5a^2b^2\)（2）、\(3ab^3\)（1）、\(-b^4\)（0）、\(2a^4\)（4）降幂排列（指数 4→3→2→1→0）：\(2a^4 + a^3b - 5a^2b^2 + 3ab^3 - b^4\)学生活动：将多项式\(3y^2 - y^3 + 2y - 1\)按 y 的升幂排列（答案：\(-1 + 2y + 3y^2 - y^3\)）幻灯片 6：基础题型 2—— 多个字母的选择排列例题 3：将多项式\(x^2y - xy^2 + 2x^3 - 3y^3\)分别按 x 的降幂排列和按 y 的升幂排列解答：（1）按 x 的降幂排列：各项 x 的指数：\(x^2y\)（2）、\(-xy^2\)（1）、\(2x^3\)（3）、\(-3y^3\)（0）排列结果：\(2x^3 + x^2y - xy^2 - 3y^3\)（2）按 y 的升幂排列：各项 y 的指数：\(x^2y\)（1）、\(-xy^2\)（2）、\(2x^3\)（0）、\(-3y^3\)（3）排列结果：\(2x^3 + x^2y - xy^2 - 3y^3\)（与按 x 降幂排列结果相同，属特殊情况）例题 4：将多项式\(2a^2b^3 - 5a^3b^2 + 3ab^4 - a^4b + 4b^5\)按 b 的降幂排列解答：各项 b 的指数：\(2a^2b^3\)（3）、\(-5a^3b^2\)（2）、\(3ab^4\)（4）、\(-a^4b\)（1）、\(4b^5\)（5）按 b 指数从大到小排列：\(4b^5 + 3ab^4 + 2a^2b^3 - 5a^3b^2 - a^4b\)技巧总结：含多个字母的多项式，排列前需明确基准字母，避免混淆；若题目未指定，可选择任意字母，但需在结果中标明排列基准（如 “按 x 的降幂排列”）幻灯片 7：易错点辨析 —— 排列过程中的常见错误易错点 1：移动项时遗漏符号错误示例：将\(5 - x^2 + 3x\)按 x 降幂排列时，误写为\(x^2 + 3x + 5\)（遗漏\(-x^2\)的负号）正确：\(-x^2 + 3x + 5\)（移动项时需带着符号一起移动）易错点 2：混淆基准字母错误示例：将\(x^2y + xy^2\)按 x 降幂排列时，误按 y 的指数排列为\(xy^2 + x^2y\)（基准字母错误）正确：按 x 指数排列，\(x^2y\)（x 指数 2）→\(xy^2\)（x 指数 1），结果为\(x^2y + xy^2\)易错点 3：常数项指数判断错误错误示例：将\(3x^3 - 2 + x\)按 x 升幂排列时，误将常数项\(-2\)的指数视为 1，排列为\(x - 2 + 3x^3\)正确：常数项指数为 0，应排在最前，结果为\(-2 + x + 3x^3\)易错点 4：改变多项式的值错误示例：将\(2x - x^2\)按 x 降幂排列时，误写为\(x^2 + 2x\)（改变项的符号，导致多项式值改变）正确：\(-x^2 + 2x\)（保持项的符号，值不变）判断练习：下列排列是否正确？若错误请改正\(-x^3 + 2x - 1\)按 x 升幂排列：\(2x - 1 - x^3\)（错误，常数项指数 0 应在最前，正确为\(-1 + 2x - x^3\)）\(a^2b - ab^2\)按 a 降幂排列：\(a^2b - ab^2\)（正确，a 的指数 2→1）幻灯片 8：实际应用 —— 排列对多项式运算的帮助应用 1：便于观察多项式的次数与项数未排列：\(5 + 2x^3 - x^2\)，不易快速识别最高次项；排列后（降幂）：\(2x^3 - x^2 + 5\)，可直接看出最高次项\(2x^3\)，次数 3，项数 3应用 2：简化同类项合并（后续学习）未排列：\(3x^2 + 2x - x^2 + 5\)，同类项分散；排列后（降幂）：\(3x^2 - x^2 + 2x + 5\)，同类项相邻，便于合并为\(2x^2 + 2x + 5\)例题 5：观察多项式\(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\)（按 x 降幂排列），指出其次数、项数及最高次项解答：次数：最高次项\(x^3\)、\(-3x^2y\)等的次数 3，故多项式次数 3项数：4 项（\(x^3\)、\(-3x^2y\)、\(3xy^2\)、\(-y^3\)）最高次项：\(x^3\)、\(-3x^2y\)、\(3xy^2\)、\(-y^3\)（次数均为 3）幻灯片 9：课堂小结（核心知识点）两种排列的定义：降幂排列：按某一字母指数从大到小排列（最高次项在前）升幂排列：按某一字母指数从小到大排列（常数项在前）排列步骤：确定基准字母→2. 标注各项指数→3. 按顺序排列（带符号移动）→4. 检查结果关键原则：不改变项的符号和多项式的值常数项的指数为 0，排列时需正确定位含多个字母时，明确基准字母，避免混淆核心作用：使多项式书写规范，便于观察次数、项数及后续运算（如合并同类项）幻灯片 10：课堂检测（4 道题）将多项式\(3x^2 - x^3 + 2x - 5\)按 x 的降幂排列，正确的是（ ）A. \(-x^3 + 3x^2 + 2x - 5\) B. \(-5 + 2x + 3x^2 - x^3\) C. \(x^3 + 3x^2 + 2x - 5\) D. \(-x^3 + 3x^2 - 2x - 5\)将多项式\(a^2b - 3ab^2 + 2a^3 - b^3\)按 b 的升幂排列，正确的是（ ）A. \(2a^3 + a^2b - 3ab^2 - b^3\) B. \(-b^3 - 3ab^2 + a^2b + 2a^3\) C. \(2a^3 - b^3 + a^2b - 3ab^2\) D. \(a^2b + 2a^3 - 3ab^2 - b^3\)将多项式\(4y^3 - 2y + y^2 - 1\)分别按 y 的降幂排列和升幂排列（写出步骤）指出多项式\(2x^3y - x^2y^2 + 3xy^3 - 4y^4\)按 x 的降幂排列后的最高次项和常数项答案：A（x 的指数 3→2→1→0，带符号排列） 2. A（b 的指数 0→1→2→3，各项 b 指数：\(2a^3\)（0）、\(a^2b\)（1）、\(-3ab^2\)（2）、\(-b^3\)（3）） 3. 步骤：按 y 的降幂排列：标注各项 y 指数\(4y^3\)（3）、\(-2y\)（1）、\(y^2\)（2）、\(-1\)（0），排列为\(4y^3 + y^2 - 2y - 1\)；按 y 的升幂排列：按指数 0→1→2→3，排列为\(-1 - 2y + y^2 + 4y^3\) 4. 按 x 降幂排列：\(2x^3y - x^2y^2 + 3xy^3 - 4y^4\)，最高次项\(2x^3y\)、\(-x^2y^2\)、\(3xy^3\)（次数均为 4），常数项：无不含字母的项，常数项为 0幻灯片 11：课后思考问题 1：多项式\(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4\)按 x 的降幂排列和按 y 的升幂排列结果是否相同？尝试排列并验证问题 2：若多项式中含有同类项（如\(2x^2 + x^2 - 3x\)），排列前是否需要先合并同类项？合并后再排列有什么优势？（提示：合并同类项后项数减少，排列更简洁，后续运算更高效）幻灯片 12：感谢语内容：本次课程到此结束，谢谢大家！2025-2026学年华东师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 2.3.3升幂排列与降幂排列第2章　整式及其加减1. 理解并能描述什么是升幂排列和降幂排列.2. 能够将一个多项式按某一字母升幂或降幂排列.重、难点：能够将一个多项式按某一字母升幂 或降幂排列.问题 运用加法交换律，任意交换多项式 x2 + x + 1 中各项的位置，可以得到哪些不同的排列方式？在众多排列方式中，你认为哪几种比较有规律？x2 + x + 1x2 + 1 + xx + x2 + 1x + 1 + x21 + x2 + x1 + x + x2这两种排列方式有什么特点?这两种排列方式有一个共同特点，即它们的各项是按字母 x 的指数从大到小 (或从小到大) 的顺序排列的.x2 + x + 11 + x + x2把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.降幂排列 ←问题：类比降幂排列定义，你知道什么是升幂排列吗？把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.x2 + x + 11 + x + x2降幂排列 ←→ 升幂排列1. 把多项式 5x2 + 3x - 2x3 - 1 分别按 x 的降幂排列与升幂排列.解：按 x 的降幂排列为：- 2x3 + 5x2 + 3x - 1；按 x 的升幂排列为： -1 + 3x + 5x2 - 2x3.例2 把多项式 a3 + b2 - 3a2b - 3ab3 重新排列： (1) 按 a 的升幂排列； (2) 按 a 的降幂排列.解：(1) 按 a 的升幂排列为：b2 - 3ab3 - 3a2b + a3.思考：你能将这个多项式按 b 的升 (或降) 幂排列吗？此时不考虑b 的指数 (2) 按 a 的降幂排列为：a3 - 3a2b - 3ab3 + b2.升幂：a3 - 3a2b + b2 - 3ab3；降幂：-3ab3 + b2 - 3a2b + a3.1. 重新排列多项式时，每一项一定要连同它的正负号一起移动 ；2. 含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列.名师点金　　按某个字母升幂(或降幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后面，反之，则放在最前面. 知识点　升幂排列和降幂排列1. 多项式 x5 y2＋2 x4 y3－3 x2 y2－4 xy 是(　B　)B2. [2024·泉州月考]把多项式5 x －4 x2＋3按 x 的升幂排列，下列结果正确的是(　D　)D3. 把多项式 a3－5 ab2－7 b3＋6 a2 b 按某一字母升(降)幂排列正确的是(　B　)B 升幂　a 　降幂　y2－3 xy3－3 x2 y ＋ x3　－3 xy3＋ y2－3 x2 y ＋ x3　6. 若多项式 x7 y2－3 xm＋2 y3＋ x3＋ y4是按字母 x 的降幂排列的，则 m 的值是 ⁠.【点拨】由题意知7＞ m ＋2＞3，且 m ＋2为整数，则 m ＋2的值为4或5或6，故 m 的值为2或3或4.2或3或4　   　利用升、降幂排列对多项式进行排列8. 已知多项式－3 x2 ym＋1＋ x3 y －3 x4－1是五次四项式，且单项式3 x2 ny3－ m 与多项式的次数相同.(1)求 m ， n 的值；【解】因为多项式－3 x2 ym＋1＋ x3 y －3 x4－1是五次四项式，且单项式3 x2 ny3－ m 与多项式的次数相同，所以2＋ m ＋1＝5，2 n ＋3－ m ＝5，解得 m ＝2， n ＝2.(2)把这个多项式按 x 的降幂排列.【解】把这个多项式按 x 的降幂排列为－3 x4＋ x3 y －3 x2 y3－1.把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的___________把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的____________降幂排列升幂排列必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！