九年级上学期数学知识点总结（含答案）

这是一份九年级上学期数学知识点总结（含答案），共32页。学案主要包含了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，中心对称图形的定义，关于原点对称的点的坐标等内容，欢迎下载使用。

九年级上册数学
知识点总结＋例题
第21章 一元二次方程
一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：
1
只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：
1、已知关于x 的方程（m+
m2 1
3
）x
+（m-3）-1=0 是一元二次方程，求m 的值。
降次——解一元二次方程
配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地， 对于形如 x2=a(a≥ 0) 的方程， 根据平方根的定义可解得
a
a
x1=,x2=.
直接开平方法适用于解形如x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
把常数项移到等号的右边；
方程两边都除以二次项系数；
方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个
b b 4ac
2
根为x=
2a
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，
我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a 化为正值
②确定公式中a,b,c 的值，注意符号；
③求出b2-4ac 的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
根的判别式
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
一元二次方程
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
式子b2-4ac 叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4ac.
因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法的详细步骤：
1
移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；
2
把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
3
令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
4
解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
一元二次方程的根与系数的关系
12121 2
若一元二次方程x2+px+q=0 的两个根为x ,x ,则有x +x =-p,x x =q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x ,x ,则有x +x = b , x x = c
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p 或（mx+n）2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当ab=0，则 a=0 或b=0
一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
a
a
12
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
121 2
审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
设：是指设元，也就是设出未知数。
列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。
解：就是解方程，求出未知数的值。
验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。
答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
增长率问题
设初始量为a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1  x ）2=b。
利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
①总利润=总销售价-总成本；
②总利润=单位利润×总销售量；
③利润=成本×利润率
图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
中考回顾
1.(2017 四川绵阳中考)关于 x 的方程 2x2+mx+n=0 的两个根是-2 和 1,则 nm 的值为(C) A.-8B.8C.16D.-16
2.(2017 新疆中考)已知关于 x 的方程 x2+x-a=0 的一个根为 2,则另一个根是(A ) A.-3B.-2C.3D.6
3.(2017 河南中考)一元二次方程 2x2-5x-2=0 的根的情况是(B) A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
4.(2017 青海西宁中考)若 x1,x2 是一元二次方程 x2+3x-5=0 的两个根,则x2+x1 的值是 15.
5.(2017 内蒙古赤峰中考)如果关于 x 的方程 x2-4x+2m=0 有两个不相等的实数根,那么 m 的取值范围是m0,即 m>-;由根与系数的关系可知 x1+x2=2m+3,
所以 2m+3=m2,得 m1=-1,m2=3,故 m=3.
某地特产专卖店销售核桃,其进价为 40 元/千克,如果按 60 元/千克出售,那么平均每天可售出 100 kg.后来经过市场调
查发现,单价每降低 2 元,则平均每天的销售量可增加 20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2 240 元,请回答:
每千克核桃应降价多少元?
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? (1)设每千克核桃应降价 x 元,根据题意,得
(60-x-40) =2 240.
化简,得 x2-10x+24=0.
解得 x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价 4 元或 6 元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价 6 元.此时,售价为
60-6=54(元),所以 100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
第 22 章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
定义：一般地，如果 y  ax 2  bx  c(a, b, c 是常数， a  0) ，那么 y 叫做x 的二次函数.
二次函数 y  ax 2 的性质
抛物线 y  ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.
函数 y  ax 2 的图像与a 的符号关系.
①当a  0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当a  0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y  ax 2（a  0）.
二次函数 y  ax 2  bx  c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线.
二次函数 y  ax 2  bx  c 用配方法可化成：
y  ax
 h2 
k 的形式，其中h
  b ，k
2a
 4ac  b 2 .
4a
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① y  ax 2 ；② y  ax 2  k ；③ y  ax  h2 ；④ y  ax  h2  k ；⑤ y  ax 2  bx  c .
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a  0 时，开口向上；当a  0 时，开口向下；
a 越大，抛物线的开口越小； a 越小，抛物线的开口越大。
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作x  h .特别地， y 轴记作直线x  0 .
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
a x
公式法： y  ax 2  bx  c   
b 2

 4ac  b 2 ，
2a 4a
∴顶点是（ 
b4ac  b 2
，
2a4a
），对称轴是直线x   b .
2a
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y  ax  h2  k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x  h .
抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线 y  ax 2  bx  c 中， a, b, c 的作用
（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y  ax 2 中的a 完全一样.
（2） b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y  ax 2  bx  c 的对称轴是直线
x   b
2a
，故：① b  0 时，对称轴为 y 轴；② b  0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴
a
左侧；③ b  0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧，“左同右异”.
a
（3） c 的大小决定抛物线 y  ax 2  bx  c 与 y 轴交点的位置.
当x  0 时， y  c ，∴抛物线 y  ax 2  bx  c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：
① c  0 ，抛物线经过原点; ② c  0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c  0 ,与 y 轴交于负半轴.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式： y  ax 2  bx  c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y  ax 2
当a  0 时
x  0 （ y 轴）
（0,0）
y  ax 2  k
x  0 （ y 轴）
(0, k )
开口向上
y  ax  h2
x  h
( h ,0)
当a  0 时
y  ax  h2  k
x  h
( h , k )
开口向下
y  ax 2  bx  c
x   b
2a
(  b4ac  b 2 )
，
2a4a
顶点式： y  ax  h2  k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、x2 ，通常选用交点式： y  ax  x1 x  x2 . 12.直线与抛物线的交点
y 轴与抛物线 y  ax 2  bx  c 得交点为(0, c ).
与 y 轴平行的直线x  h 与抛物线 y  ax 2  bx  c 有且只有一个交点( h , ah 2  bh  c ).
抛物线与x 轴的交点
二次函数 y  ax 2  bx  c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 、x ，是对应一元二次
12
方程ax 2  bx  c  0 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点   0  抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）    0  抛物线与x 轴相切；
③没有交点   0  抛物线与x 轴相离.
平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2  bx  c  k 的两个实数根.
一次函数 y  kx  nk  0的图像l 与二次函数 y  ax 2  bx  ca  0的图像G 的交点，
y  kx  n
由方程组
y  ax2  bx  c
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与G
有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与G 只有一个交点；③方程组无解时 l
与G 没有交点.
） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 若抛物线 y  ax 2  bx  c 与 x 轴两交点为
Ax ，0，Bx ，0，由于x 、x 是方程ax 2  bx  c  0 的两个根，故
1212
x  x   b , x  x  c
12a12a
x
x 
2
12
x
x   4x x
2
12
1 2
b 2
 
4c

a a
b2  4ac
a

AB 
x1  x2 

a
中考回顾
1.(2017 天津中考)已知抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴相交于点 A,B(点 A 在点 B 左侧),顶点为 M.平移该抛物线,使点 M 平移后的对应点 M'落在 x 轴上,点 B 平移后的对应点 B'落在 y 轴上,则平移后的抛物线解析式为(A)
A.y=x2+2x+1B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-1
2.(2017 四川成都中考)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是(B)
abc0
abc>0, b2-4ac>0
abc