人教版九年级数学上册知识点总结

这是一份人教版九年级数学上册知识点总结，共42页。学案主要包含了次)的方程，叫做一元二次方程，元二次方程的根，反证法等内容，欢迎下载使用。

人教版九年级数学上册知识点总结
第 21 章 一元二次方程知识点归纳
21.1 一元二次方程
知识点一：一元二次方程的定义
1.等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二 次)的方程，叫做一元二次方程。
2.注意一下几点：
(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是 2 ；(3)是整式方程。 知识点二：一元二次方程的一般形式
1.一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是 一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
知识点三：一元二次方程的根
1.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一 元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一：直接开平方法解一元二次方程
1.如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直 接开平方。一般地，对于形如 x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1= ，
2.直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就 可以利用直接开平方法。
3.用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平 方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4.直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二：配方法解一元二次方程
1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是 降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
2.配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)方程两边都除以二次项系数；
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
21.2.2 公式法
知识点一：公式法解一元二次方程
1.一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个
根为 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公
式，我们可以由一元二方程的系数 a，b，c 的值直接求得方程的解，这种解方程
的方法叫做公式法。
2.一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
3.公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) ，一般 a 化为正值
②确定公式中 a ，b ，c 的值，注意符号；
③求出 b2-4ac 的值；
④若 b2-4ac≥0，则把 a，b ，c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac＜0，则
方程无实数根。
知识点二：一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4ac.
一元二次方程 根的判别式
△>0 ，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0 ，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
21.2.3 因式分解法
知识点一：因式分解法解一元二次方程
1.把一元二次方程的一边化为 0 ，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化 为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
2.因式分解法的详细步骤：
(1)移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；
(2)把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和 完全平方公式；
(3)令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
(4)解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二：用合适的方法解一元一次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1 ，x2 ，则有 x1+x2=-p ，x1x2=q.
2.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1+x2= - ，x1x2=
22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
1.审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之 间的等量关系。
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
当 ab=0 ，则 a=0 或 b=0
一边为 0 ，另一边易于分解成 两个一次因式的积的一元二次 方程。
2.设：是指设元，也就是设出未知数。
3.列：列方程是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义， 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 4.解：就是解方程，求出未知数的值。
5.验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 6.答：写出答案。
知识点二：列一元二次方程解应用题的几种常见类型 1.数字问题
(1)三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1 ，x+1。
(2)三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2 ，x+2。
(3)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a，b ，c，则这个三
位数是 100a+10b+c. 2.增长率问题
设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长 或降低后的等量关系为 a(1 ± x )2=b。
3.利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
(1)总利润=总销售价-总成本；
(2)总利润=单位利润×总销售量；
(4)利润=成本×利润率
4.图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系， 将图形的面积用含有未知数
的代数式表示出来，建立一元二次方程。
【中考回顾】
1.(2017 四川绵阳中考)关于 x 的方程 2x2 +mx+n=0 的两个根是-2 和 1，则 nm 的值 为( C )
A.-8 B.8 C.16 D.-16
2.(2017 新疆中考)已知关于 x 的方程 x2 +x-a=0 的一个根为 2 ，则另一个根是 ( A )
A.-3 B.-2 C.3 D.6
3.(2017 河南中考)一元二次方程 2x2-5x-2=0 的根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4.(2017 青海西宁中考)若x1，x2 是一元二次方程x2 +3x-5=0 的两个根，则x2+x1 的值是 15.
5.(2017 内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x2-4x+2m=0 有两个不相等的实数根， 那么 m 的取值范围是 m0，即 m>-；由根与系数的关系可知 x1+x2 =2m+3，所以 2m+3=m2，得 m1 =-1 ，m2 =3，
故 m=3.
8.某地特产专卖店销售核桃，其进价为 40 元/千克，如果按 60 元/千克出售，那 么平均每天可售出 100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每 天的销售量可增加 20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2 240 元， 请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按 原售价的几折出售?
(1)设每千克核桃应降价 x 元，根据题意，得 (60-x-40)(100+x20)=2 240.
化简，得 x2-10x+24=0. 解得 x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每 千克核桃应降价 6 元.此时，售价为 60-6=54(元)，所以100%=90%.
答：该店应按原售价的九折出售.
第 22 章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果y = ax2 + bx + c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二 次函数.
2.二次函数y = ax2 的性质
( 1)抛物线y = ax2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.
(2)函数y = ax2 的图像与a 的符号关系.
①当a > 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当a < 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y = ax2（a ≠ 0）. 3.二次函数y = ax2 + bx + c 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数y = ax2 + bx + c 用配方法可化成：
y = a(x -h)2 + k 的形式，其中h = - .
5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① y = ax 2 ； ② y = ax 2 + k ； ③ y = a(x -h)2 ； ④ y = a(x -h)2 + k ；
⑤ y = ax 2 + bx + c .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
(1) a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向 下；
a 越大，抛物线的开口越小； a 越小，抛物线的开口越大。
(2)平行于y 轴(或重合)的直线记作x = h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .
7.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么 抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
( 1)公式法：y = ax2 + bx + c = a ∴顶点是 对称轴是直线
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y= a(x -h)2 + k 的形式， 得到顶点为( h ，k )，对称轴是直线. x = h 。
(3)抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的
连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y = ax 2 + bx + c 中，a, b, c 的作用
(1) a 决定开口方向及开口大小，这与y = ax 2 中的a 完全一样。
(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是
直线 ，故：①b = 0 时，对称轴为y 轴；② 时，对称 轴在y 轴左侧；③ < 0(即a 、b 异号)时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.
(3) c 的大小决定抛物线y = ax2 + bx + c 与y 轴交点的位置。当x = 0 时，y = c ， ∴抛物线y = ax2 + bx + c 与y 轴有且只有一个交点(0 ，c )：
① c = 0 ，抛物线经过原点； ② c > 0 ，与y 轴交于正半轴；③ c < 0 ，与y 轴交
于负半轴。
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：y = ax 2 + bx + c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：y = a(x -h)2 + k. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3) 交 点 式： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 x1 、 x2 ， 通 常 选 用 交 点 式 ： y = a(x - x1 )(x - x2 )。
12.直线与抛物线的交点
(1) y 轴与抛物线y = ax 2 + bx + c 得交点为(0 ， c )。
(2)与 y 轴平行的直线 x =h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点(h ， ah 2 + bh + c )。
(3)抛物线与x 轴的交点
二次函数y = ax 2 + bx + c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ，是对应一元 二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的 一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 Δ > 0 抛物线与x 轴相交；
②有一个交点(顶点在x 轴上) Δ = 0 抛物线与x 轴相切；
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2 y = ax
当 a > 0 时 开口向上； 当 a < 0 时 开口向下
x = 0 ( y 轴)
(0 ，0)
y = ax2 + k
x = 0 ( y 轴)
(0 ， k )
y = a(x -h)2
x = h
( h ，0)
y = a(x -h)2 + k
x = h
( h ， k )
y = ax2 + bx + c
③没有交点 Δ < 0 抛物线与x 轴相离.
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐 标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2 + bx + c =k 的两个实数根.
(5)一次函数y = kx + n(k ≠ 0) 的图像l 与二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像 G
的交点，由方程组bx + c 的解的数目来确定：①方程组有两组不同
的解时 l 与G 有两个交点； ②方程组只有一组解时 l 与G 只有一个交点；
③方程组无解时 l 与G 没有交点。
(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴两交点为 A(x1，0)，B(x2，0) ，由于x1 、x2 是方程ax2 + bx + c = 0 的两个根，故
【中考回顾】
1.(2017 天津中考)已知抛物线y=x2-4x+3 与x 轴相交于点A，B(点A 在点 B 左侧)， 顶点为 M.平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点 M'落在 x 轴上，点 B 平移后的 对应点 B'落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )
A. y=x2 +2x+1 B. y=x2 +2x-1 C. y=x2-2x+1 D. y=x2-2x-1
2.(2017 四川成都中考)在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数y=ax2 +bx+c 的图象 如图所示，下列说法正确的是( B )
A. abc0 B. abc>0 ， b2-4ac>0 C. abc