2.2 等腰三角形及其性质 期末复习专题突破 课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

等腰三角形及其性质思维导图知识要点：1. 等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合（简称：三线合一）。 1. 等腰三角形是一类特殊的三角形，它有两条边相等，两个角相等，是轴对称图形，底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”），这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴。2. 等腰三角形是最简单的轴对称结构，平面几何中相等的角或边的证明大多可以利用这个对称结构实现，而解等腰三角形的相关问题，全等三角形依然是重要工具，但更多的是思考利用轴对称性来确定图形的全等，从而得到角、线、形之间的关系。3. 等腰三角形中的分类讨论：（1）若已知等腰三角形的一条边，需对该边为腰还是底边进行分类讨论。（2）若已知等腰三角形的一个角，需对该角为顶角还是底角进行分类讨论。（3）若已知等腰三角形的一条高线，需对该高线是底边上的高线还是腰上的高线进行分类讨论，同时还要考虑钝角三角形和锐角三角形产生的分类讨论。（4）已知等腰三角形的三个顶点，需对哪个顶点是顶角的顶点进行分类讨论。 知识点一：等腰三角形的边角关系 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE=80°，∠EAD=54°，则∠DEB= 　　　　°。 根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求∠B，根据等腰三角形的性质可求∠EDA，再根据三角形外角的性质即可求解。 ∵∠CAE=80°，∠EAD=54°，∴∠CAB=134°。∵AB=AC，∴∠B=（180°-134°）÷2=23°。由作图可知EA=ED，∴∠EDA=∠EAD=54°。∴∠DEB=∠EDA-∠B=31°。故答案为31。 本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和、外角的性质，关键是根据“等边对等角”确定图中的等角。 如图，在△ABC中，已知AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为 ⁠。【解析】∵AD=DC，∴∠DAC=∠C。∵∠C=35°，∴∠DAC=35°。∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°。∵AB=AD，∴∠B=∠BDA=70°。故答案为70°。70°知识点二：等腰三角形性质的应用 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD上任意一点。（1）如图1，连结BE，CE，则BE=CE吗？请说明理由。  （1）根据等腰三角形的性质可知AD⊥BC，再根据垂直平分线的性质即可得出结论。（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°可以推出AF=BF，再证明△AEF≌△BCF就可以得出结论。 （1）BE=CE。理由如下：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC。∴AD为BC的垂直平分线。∴BE=CE。  本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质的运用，根据等腰三角形的轴对称性以及“三线合一”确定图中相等的线段并找出全等三角形是解题的关键。 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC>90°，CD与直线AB垂直，垂足为D，∠BCD的平分线CE交BD于点E，点H在线段AC上，HE的延长线与CD的延长线相交于点F。（1）求证：∠ACE=45°。【答案】（1）∵CD⊥AD，∴∠ADF=90°。∴∠ACD+∠A=90°。∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE。∵AB=BC，∴∠A=∠ACB。∴∠ACD+∠A=2∠ACB+2∠BCE=90°。∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°。（2）若FH⊥AC，求证：CF=AE。  探究与发现：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE。（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数。（2）当点D在BC（点B，C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系。（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图2探究∠BAD与∠CDE的数量关系。  （1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。∵∠BAD=60°，∴∠DAE=30°。∵AD=AE，∴∠AED=75°。∴∠CDE=∠AED-∠C=30°。  （3）设∠BAD=x，∠C=y。∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°-2y。   本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质，三个小题的解题过程遵循从特殊到一般的思考过程，要善于从特殊的图形中找出几何元素之间的关系从而体会条件变化过程中不变的量。 1. 已知一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（　B　）2. 已知一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形顶角的度数为（　C　）BC3. 如图所示为螳螂的示意图，已知AB∥DE，AB=BC，∠ABC=120°，∠CDE=72°，则∠BCD的度数为（　A　）A4. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=50°，则它的“特征值”k等于（　D　）D 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD为△ABC的角平分线，则∠BDC= ⁠。126°6. 如图，在△OCD中，CO=CD=5，OA∥CD，DE⊥OA，垂足为E，DE=4，则△OCD的面积为 ⁠。107. 如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE的长为 ⁠。8 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，D为BC上一点，连结AD，作∠ADE=35°，DE交线段AC于点E。（1）求∠B，∠C的度数。 （2）若AE=DE，求∠BDA的度数。【答案】（2）∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE=35°。∵∠C=35°，∴∠BDA=∠DAE+∠C=35°+35°=70°。9. 如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点（不与点B，C重合），PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD=8。求PF+PE的值。  10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连结AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（　D　）D 11. 小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B= ⁠。67.5°【解析】设∠ECF=x。∵EC=EF，∴∠EFC=∠ECF=x。∴∠GEF=2x。∵EF=GF，∴∠FGE=∠GEF=2x。∴∠DFG=∠FGE+∠ECF=3x。∵DG=GF，∴∠GDF=∠DFG=3x。∴∠AGD=∠GDF+∠ECF=4x。∵DG=DA，∴∠A=∠AGD=4x。∴∠BDC=∠A+∠ECF=5x。∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=5x。∴∠ACB=∠BCD+∠ECF=6x。∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=6x。∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴4x+6x+6x=180°，解得x=11.25°。∴∠B=6x=67.5°。故答案为67.5°。12. 如图，∠BOC=θ（0°