第5章 直角三角形（复习课件）-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）

单元复习课件 第5章 直角三角形 湘教版2024·八年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1．掌握直角三角形的性质、判定定理及勾股定理。2．能运用相关知识进行计算、证明与实际应用，提升几何推理能力。4.勾股定理与三角形全等、等腰三角形等知识的结合。3. 勾股定理及其逆定理的应用；直角三角形性质的综合运用。 考点一、直角三角形的性质定理1．直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角 。2．直角三角形的判定定理1：有两个角 的三角形是直角三角形。互余互余3．直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。一半4．直角三角形的推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 .一半5．直角三角形的推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 .30°考点二、勾股定理及其逆定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学表达式即 。   实际问题（直角三角形边长计算）由形到数勾股定理勾股定理的逆定理互 逆由数到形实际问题（判定直角三角形） 考点二、勾股定理及其逆定理3．勾股数：满足 的三个正整数称为勾股数。 考点三、直角三角形全等的判定1．直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边，直角边”或“HL”.注意：①对应相等；②“HL”仅适用直角三角形；③书写格式应为: ∵在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AB = DE， AC = DF， ∴Rt△ABC ≌Rt△DEF (HL).ABCDEF考点四、角平分线的性质1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。2．角平分线的判定定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。OP 平分∠AOBPD ⊥ OA 于 DPE ⊥ OB 于 EPD = PEOP 平分 ∠AOBPD = PEPD⊥ OA 于 DPE ⊥ OB 于 E角的平分线的判定角的平分线的性质题型一、直角三角形的性质与判定例1 等腰三角形的一个底角为 75°，腰长 4 cm，那么腰上的高是______cm，这个三角形的面积是_____cm2. 24解析：利用数形结合思想，画出示意图。75°4cm4cmABCD题型一、直角三角形的性质与判定 练一练 如图，AB∥DF，AC⊥BC 于 C，CB 的延长线与DF 交于点 E，若∠A ＝ 20°，则 ∠CEF 等于(　　)A．110° B．100° C．80° D．70° 解：∵AC⊥BC 于 C， ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ABC ＝90°－∠A＝90°－20°＝70°， ∴∠ABC ＝∠1＝70°， ∵AB∥DF， ∴∠1＋∠CEF ＝180°， 即∠CEF ＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.A题型二、勾股定理  解析：依据题意，画出符合题意的图，再利用等面积法求解。题型二、勾股定理练一练 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）DA、25 B、14 C、7 D、7或25 题型二、勾股定理解题总结： 1.在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便。 2.在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边。题型三、勾股定理的逆定理与勾股数    题型三、勾股定理的逆定理与勾股数  直角题型三、勾股定理的逆定理与勾股数 题型四、勾股定理的应用例4 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：如图，将可能路径展开，有3条路径。题型四、勾股定理的应用例4 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 题型四、勾股定理的应用练一练 如图，已知长方体的长宽高分别为 5、3、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A 爬到点 B，最短路程为（　　）A解题总结： 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”--把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“两点之间，线段最短”求解． 要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，不要忽视多种展开情况．题型五、勾股定理的逆定理的应用例5 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程、距离16×1.5=2412×1.5=1845°实质是求∠2的度数。问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，需要求角，由此你联想到了什么？勾股定理的逆定理题型五、勾股定理的逆定理的应用16×1.5=2412×1.5=1845° 解决实际问题的步骤：①构建几何模型(从整体到局部)；②标注有用信息,明确已知和所求；③应用数学知识求解.题型五、勾股定理的逆定理的应用 题型五、勾股定理的逆定理的应用  题型六、直角三角形全等的判定 例6 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？解析：将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定 BD 是否等于 CD. 由已知条件可知 AB = AC，AD⊥BC.题型六、直角三角形全等的判定 例6 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°.在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD = CD.题型六、直角三角形全等的判定练一练 如图，点E，F在BC上，AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF. 求证：AC∥BD.解析：证明AC∥BD的关键是根据条件，确定要证明全等的三角形. 由AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF可知，证Rt△ACE与△DBF全等，则可证AC∥BD.题型六、直角三角形全等的判定练一练 如图，点E，F在BC上，AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，BE=CF. 求证：AC∥BD.证明： ∵ AE⊥BC，DF⊥BC，∴ ∠AEC=∠DFB=90°.又∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE.∴ Rt△ACE≌Rt△DBF.∴ ∠ACE=∠DBF.∴ AC∥BD.题型七、角平分线的性质和判定 例7 如图，在 △ABC 中，EB = FC，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：AD 是 △ABC 的角平分线. 解析：先利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF，从而得到 DE = DF，再利用角平分线的判定定理证明 AD 是 △ABC 的角平分线.题型七、角平分线的性质和判定 例7 如图，在 △ABC 中，EB = FC，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：AD 是 △ABC 的角平分线. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ DE = DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ AD 是△ABC 的角平分线.证明：题型七、角平分线的性质和判定 练一练 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC.解析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE，PF，构造角平分线的基本图形.题型七、角平分线的性质和判定 练一练 如图，∠1 = ∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°，求证：PA = PC.证明：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.∵∠1 = ∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.∴PE = PF， ∠PEA = ∠PFC = 90°.∵ ∠PCB +∠BAP = 180°，又∠BAP +∠EAP = 180°.∴ ∠EAP = ∠PCB.在△APE 和△CPF 中，∴ △APE ≌△CPF(AAS).∴ AP = CP.考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20.求证：△ABC是直角三角形.解析：先根据直角三角形的判定定理由AD=16，CD=12，AC=20，证明△ACD是直角三角形，从而得△BCD是直角三角形。再在Rt△BCD中，由勾股定理求得BC，即可判定△ABC是直角三角形.考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20.求证：△ABC是直角三角形.证明：在△ABC 中，AD =16，CD =12，AC =20.在Rt△BDC中，BD=9，CD=12，则∴ ∠ADC =∠BDC =90°.   ∴ △ACD是直角三角形.考查直角三角形的性质与判定 1. 如图，在△ABC 中，AD = 16，BD = 9，CD = 12，AC = 20.求证：△ABC是直角三角形.在△ABC中，∵ AC=20，BC=15，AB=AD+BD=16+9=25.∴ AC ²+BC ²=20²+15²=625，AB²=25²=625.∴ △ABC是直角三角形。∴ AC ²+BC ²=AB ².  考查直角三角形的性质与判定解 ：(1)∵ ∠ACB=90°，∴ ∠A+∠B=90°.∴ ∠A=30°.  考查直角三角形的性质与判定(2)∵ 在Rt△ABC中， ∠A=30°，BC=6.∴ AB=2BC=12.∴ CD=DB=BC，即△CDB是等边三角形. 涉及勾股定理的数学思想和解题方法 解析：方程思想。欲求的线段 CD 在 Rt△ACD 中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．  涉及勾股定理的数学思想和解题方法 方法总结：勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解． 涉及勾股定理的数学思想和解题方法解析：数形结合思想。  涉及勾股定理的数学思想和解题方法  涉及勾股定理的数学思想和解题方法 涉及勾股定理的数学思想和解题方法解析：转化思想。  涉及勾股定理的数学思想和解题方法方法总结：利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决. 考查直角三角形全等解析：本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，根据等腰三角形的三线合一性质得CD=BD,继而得到BD=EC,利用HL证明全等即可， 考查直角三角形全等证明：∵AB=AC,AD⊥BC, ∴CD=BD, ∵CD=CE, ∴BD=EC, ∵AD⊥BC,EC⊥BC, ∴∠ADB =∠BCE=90°, 在Rt△ABD 和 Rt△BEC中， AB=BE，BD=EC ∴ Rt△ABD ≌ Rt△BEC (HL).考查直角三角形全等归纳总结 7. 如图，OP 为∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法：①PD =PE；②OD =OE；③∠DPO =∠EPO；④OC 垂直平分线段DE 中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考查角平分线的性质与判定D解：∵ OP为∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE，故①正确.∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO.∴ OD=OE，∠DPO=∠EPO.故②③正确. 7. 如图，OP 为∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，下列说法：①PD =PE；②OD =OE；③∠DPO =∠EPO；④OC 垂直平分线段DE 中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考查角平分线的性质与判定D∵ OD=OE， PD=PE，∴ 点O，点P在线段OP的垂直平分线上，∴ OP是线段DE的垂直平分线，故④正确，故选D.本节课你学到了什么知识和方法？经历了哪些思考？建立了什么样的数学模型？还有什么疑惑？今天，我们都有哪些收获？快来说说吧.感谢聆听!