湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题 word版含答案

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数 学
时量:120 分仲
满分：150 分
(考试范围：必修第一册第 1 章~第 4 章 4.4)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1
.已知集合
A.〈1.4}
.命题“
,集合 B={2,3,4},则 A∩B=
B.{1.2〉 C.〈2.3}
”的否定形式是
D.{1,2,3,4〉
2
A.
C.
B.
D.
3
.函数
的图象大致为
4
.函数
的定义域为
B.
,Q:
A
C.
,则 P 是 Q 的
D.
5
.已知命题 P:
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
C.充要条件
6
.已 知 函 数
在 [2,+∞)上 是 增 函 数 ， y=f(x+2)关 于 y 轴 对 称 ， 若
成立，则实数 t 的取值范围是

A.
B.(1,3)
C.(-1.1)
D.
7
.若实数 x,y,z 满足
,则 x,y,z 的大小关系不可能是
A.x=y=z
B.z>x>y
C.z>y>x
D.x>y>z
8
.已知函数
,若当 10,t>0,则
C.若
,则 mn,k>t,则 m+k>n+t
1
0.已知实数 a,b 都是正数，且满足 a+b=1,则下列说法正确的是
A.ab 的最大值为 B.a²+2b²的最小值
C. 的最小值为 D. 的最大值为
1.设函数 f(x)和 g(x)是定义在 R 上的非常值函数，g(0)=1.且对任意 x,y∈ R,都有 f
1
(x+y)=f(x)(y)+f(y)g(x),则下列说法正确的是
A.f(0)=0
B.若 g(x)为非零函数，则
为奇函数
C 若 g(x)= ,则 f(4=4e3f(-1)
D.若 f(x)为奇函数且在 R 上单调递增，则 g(x)>0 对任意 x∈ R 成立

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
1
2.已知幂函数
的图象过点(
=____.
),则 f(4)=___
3.计算：
1
4.已
知
函
数
,若
关
于
x 的
方
程
有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为
_
____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
1
5.(本小题满分 13 分)
已知集合
.
(1)当 a=1 时，求
;
(2)若
,求实数 a 的取值范围.
1
6.(本小题满分 15 分)
已知关于 x 的不等式
.
(1) 若不等式的解集为
,求实数 m 的值；
(2)若不等式对任意实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围.

1
7.(本小题满分 15 分)
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是
双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正
弦函数为 f(x),双曲余弦函数为 g(x),已知这两个最基本的双曲函数的定义域为 R,
且具有如下性质：
①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；
②f(x)+g(x)=ex(常数 e 是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下
问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)设函数
,若 h(x)在 R 上的最小值为 6,求实数 a 的值.
1
8.(本小题满分 17 分)
已知 ,且
≥0 恒成立，当 x=0 时等号成立，
.
(1)证明：g(x)≤0.并说明取等号的条件：
(2)证明，
;
(3)已知 满足
,
满足
,比较
与
的大
小.

1
9.(本小题满分 17 分)
给定函数
,对于任意 x∈ R.函数 M(x)表示
中的最大者。记为
。
函 数 N(x)表 示
中 的 最 小 者 。 记 为
,
(I)用解析式表示
。并求出 M(x)>3 的解集，
(2)证明：
(3)设
,若 对 任 意 ∈ [1,3].都 有
≥2,求实数 b 的取值范围.