江苏省镇江市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省镇江市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知．则（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．
C．D．
7．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（ ）
A．甲、乙两车均超过规定限速
B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速
C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速
D．甲、乙两车均未超过规定限速
8．已知函数，定义域为．则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列各组函数是同一个函数的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的图象与轴交于两点．则（ ）
A．
B．若，则
C．当时，
D．
11．已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．如果函数的定义域为，则值域为
C．方程有且仅有三个不同的实数解
D．如果不等式的解集为，则不等式的解集为
三、填空题
12．已知集合，请用列举法表示 ．
13．因式分解： ．
14．已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递 （增、减），不等式的解集为 ．
四、解答题
15．已知集合．
(1)求和；
(2)若，求实数的取值范围．
16．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
17．已知函数．
(1)解关于的不等式；
(2)当时，求的最小值；
(3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
18．已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数，分别得到如下结论：
甲：函数图象的对称中心为；
乙：；
丙：函数只有增区间，没有减区间；
丁：函数的图象与两坐标轴共有3个不同的交点；
其中有且只有3位同学的结论是对的．
(1)下列四个函数：
，，，
只有一个函数满足题意，求满足题意的的解析式；
(2)已知函数．
①若的定义域为，求的值域；
②探求函数对称中心的坐标，并证明你探究的结论．
19．已知函数是奇函数．
(1)求λ的值；
(2)判断的单调性，并用证明你的结论；
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】由，则．
故选：A．
2．B
【详解】对A、C、D：取，，，，此时，，
，故A、C、D错误；
对B：由，则，，
又是增函数，
，故B正确，
故选：B．
3．B
【详解】的解集为,
的解集为,易知,
即条件推不出结论，不具有充分性；结论可以推出条件，具有必要性，
故“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
4．D
【详解】对于A，定义域为，，所以不恒成立，故A不符合题意；
对于B，定义域为，，，所以不恒成立，故B不符合题意；
对于C，定义域为，，
当时，所以不恒成立，故C不符合题意；
对于D，定义域为，，
则为偶函数，故D符合题意；
故选：D．
5．D
【详解】，
，，则，
．
故选：D．
6．A
【详解】依题意，，
①因为 ，所以.
②由于 ，所以 ，
即：
因此，.
所以，所以.
故选：A
7．B
【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到；
因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到；
所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
故选：B
8．A
【详解】因为函数的定义域为
所以，解得.
所以的定义域为
由得
所以.
当，即时，，
当，即时，.
所以的值域为,
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，
所以不是同一函数，故A不符合题意；
对于B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故B符合题意；
对于C， 的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，故C符合题意；
对于D，定义域不同，不是同一函数，故D不符合题意；
故选：BC．
10．ABD
【详解】由题意知有两个不相等的实数根，
对于A，由题意，，解得，故A正确；
对于B，根据韦达定理，得，，解得，故B正确；
对于C，当时，，
，故C不正确；
对于D，因为所以，
令，所以，
当时等号成立，所以，故D成立.
故选：ABD
11．ABD
【详解】对于A，，
则函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为都是上的增函数，
所以在单调递增，且，，故值域为，故B正确；
对于C，令，即，
解得：
所以方程有且仅有两个不同的实数解，故C错误；
对于D，不等式的解集为，
则是方程即的根，
所以，解得，
则不等式为，
即，
，解得，
则不等式的解集为，故D正确；
故选：ABD．
12．
【详解】由可得代入方程中，解得，.
所以.
故答案为：.
13．
【详解】因为，
所以设，
，
则，解得，
所以，
故答案为：
14． 减
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，
又，所以或时，，时，，
不等式，
，或，
，或，
解得，或，
即不等式的解集为．
故答案为：减；
15．(1)，或
(2)
【详解】（1）因为集合，
所以.
或
则或或，
（2）因为，所以，
又因为，
所以的取值范围为.
16．(1)
(2)立方米
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，关于的函数解析式为.
（2）由（1）可知，当时，，
当时，，
当时，，
因此当月缴纳的水费为元时，用水量，
所以，解得（立方米），
答：此户居民本月用水量为立方米.
17．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）不等式化简得：，
①当时，解得，即不等式的解集为，
②当时，解得或，即不等式的解集为，
③当时，解得或，即不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）函数的对称轴为，
①当，即时，在上为增函数，
所以；
②当，即时，在上为减函数，
所以；
③当，即时，．
综上所述，的最小值为.
（3）依题意可得对于恒成立，
所以且，
即，解得或，
即的取值范围为．
18．(1)
(2)①；②，证明见解析
【详解】（1）（法一）函数是满足甲、乙、丙结论．
因为对称中心为，设，
又，得，所以，
所以．
（法二）函数是满足甲、乙、丙结论．
因为，对称中心为，
所以，
因为，可得，所以，
所以．
（2）①函数，则在为单调递增函数，，.
所以的值域为
②(法一)函数图象的对称中心为，证明如下：
设是函数图象上任一点，则，
关于的对称点为，
因为，且．
所以．
即点也在图象上．
所以的图象关于点中心对称．
(法二)设函数对称中心为，则为奇函数，
所以，
所以，
整理得：恒成立．
所以，
所以．
所以函数对称中心为．
（法三）
，
设，因为，
所以为奇函数，对称中心为，
所以的对称中心为．
19．(1)1
(2)增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）法一、因为函数是R上奇函数，
所以恒成立，
则，
由于，则，所以．
法二、因为函数是R上奇函数，
所以，
即，解得．
当时，由于，
此时函数是奇函数，所以．
（2）函数为增函数，证明如下：
任取，因为，
由于是增函数，所以，又因为，
所以，
所以，
所以函数为增函数．
（3）因为为单调增函数，
当，不等式恒成立，
所以恒成立，
即，
则，
在为增函数，则，
所以，
有．
令，
则，
令，由于，设，
则，
由于，
则，
所以，
所以在单调递增．
所以函数在为增函数，
则，则，每户每月用水量
水价（元/立方米）
不超过立方米部分
超过立方米但不超过立方米部分
超过立方米部分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
D
A
B
A
BC
ABD
题号
11









答案
ABD