山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学试卷（学生版）

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这是一份山西省太原市2026届高三上学期期中学业诊断数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知，且，则实数（）
A. -3B. 6
C. -1或-2D. 1或2
3. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）
A. B.
C. 1D. 5
6. 如图是函数的图象，则实数（）
A. B.
C. D.
7. 如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（）
A. 1B.
C. D. 2
8. 设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D. 单调递减
10. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 当时，的单调递减区间为
B. 当时，有两个零点
C. 若有三个零点，则的取值范围是
D. 4是的极大值
11. 台塔，又叫平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个多边形的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则下列结论正确的是（）
A. 平面
B. 该台塔外接球的表面积为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则__________．
13. 八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________．
14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数）．例如：．记，则数列的前项和___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知全集为．
（1）求；
（2）设是奇函数，当时，，求的解析式，并求当时的值域．
16. 如图，平面四边形中，．
（1）当时，求
（2）求当为何值时，的面积最大？并求出其最大值．
17. 已知数列满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）设求数列的前项和；
18. 在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．
（1）求证：；
（2）若，求证：平面；
（3）求直线与平面所成角正弦值的最大值．
19. 定义运算：，已知函数．
（1）当时，①求在处的切线方程；
②证明：在内存在唯一的极小值点，且；
（2）若对任意（），都有，求实数的取值范围．