北京市第二中学高一上学期第三学段考试(期末)数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市第二中学高一上学期第三学段考试(期末)数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段函数.
13. 已知，若，则的值为_______，的值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用诱导公式求解第一空，依据给定角度范围结合同角三角函数的基本关系得到，再利用两角和的正弦公式求解第二空即可.
【详解】由诱导公式得，
因为，所以，则，
由同角三角函数的基本关系得，
解得，则，
由两角和的正弦公式得，
故答案为：；
14. 已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意求出解析式，进而求出对称中心，结合正弦函数性质与给定条件将表示出来，再求解最小值即可.
【详解】因为的一条对称轴为，
所以不妨设，代入解析式中，得到，
而，得到，则，
解得，令，得到，
则，令，
解得，则关于中心对称，
因为，且函数在上具有单调性，
所以由正弦函数性质得，解得，
故，当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：
15. ①函数的定义域是．
②已知，则；
③已知函数，若函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数；
④已知函数和的图象的对称轴完全相同，则关于对称
以上说法正确的是_______
【答案】①④
【解析】
【分析】利用二次根式的性质建立不等式，结合正切函数的性质求解不等式判断①，左右两端同时平方得到，再结合同角三角函数的基本关系得到判断②，举反例得到特殊函数，利用正弦函数的性质判断其奇偶性求解③，利用正弦函数性质和余弦函数性质解出，再利用整体代入法求解对称中心即可.
【详解】对于①，由二次根式性质得，即，
由正切函数性质得，故①正确，
对于②，因为，所以，
则，即，
解得，而，则，
故，由同角三角函数的基本关系得，
则不可能成立，故②错误，
对于③，设平移后的函数为，
当时，，
由正弦函数性质得是奇函数，故③错误，
对于④，因为两个函数图象的对称轴完全相同，所以和的周期也相同，
因为和周期均为，
解得，则此时，
令，解得，
当时，，则关于对称，故④正确.
故答案为：①④
16. 已知函数，对于任意实数，记的最大值为，
（ⅰ）若，则_______；
（ⅱ）若，则的取值范围是_______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】先求出，再将绝对值函数表示为分段函数形式，利用给定定义求解第一空，先求出，再表示出分段函数，结合在区间内分类讨论求解即可.
【详解】对于第一空，当时，，
则，
当时，，
当时，，
此时我们作出的图象，
由图象可得最大，且，则，
对于第二空，由题意得，
则，令，
而，则，
化简得，如图，我们作出的图象，
而在区间内，且区间长度为，
则由题意得，下面我们对的范围分类讨论，
当时，，
由二次函数性质得在上单调递减，又，，
则，即，
当时，结合图象可得，
综上可得，即的取值范围是.
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的新定义，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质求解即可.
三、解答题（每小题14分，共70分）
17. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点，且．求下列各式的值．
（1）及；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系求解即可.
（2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系化简求值即可.
【小问1详解】
因为点在第二象限，所以，
由三角函数定义可知，解得，
此时，故，
得到，故.
【小问2详解】
原式，
.
18. 已知函数，
（1）当时，求的定义域和单调区间；
（2）若任意都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）定义域；单调递增区间，单调递减区间
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，写出函数的解析式，由对数的真数大于零可求得函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得函数的增区间和减区间；
（2）分析可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，由可得出，解法一：由参变量分法可得出对任意的，所以恒成立，可求得的范围；解法二：令，其中，根据题意得出，可求得的范围；综合即可得解.
【小问1详解】
当时，，
由x+1>04−2x>0可得，故函数的定义域为，
又二次函数图象的对称轴为，
该函数在单调递增，单调递减，且是单调递增函数，
由复合函数的单调性得，在单调递增，单调递减．
故的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为．
【小问2详解】
由题意可知，对，，故，所以．
又任意，fx=lg2−kx2+4−kx+4>2=lg24恒成立
即，−kx2+4−kx>0，
因为，所以−kx+4−k>0，所以，
解法一：故恒成立．因为，所以恒成立，所以．
解法二：令，其中，
要使得在恒成立，则，故．
综上，．
19. 已知函数图象上两个相邻的最高点距离为，再从下面条件中选择两个作为一组已知条件．
条件①：的最小值为；
条件②：图象关于点对称；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求的解析式及单调增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的的值；
（3）将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若在时有两个不相等的实根，求的取值范围．
【答案】（1）条件选择见解析，，增区间为
（2）时，；时，．
（3）
【解析】
【分析】（1）选①②，根据题意求出函数的最小正周期，可求出的值，根据函数的最小值可求得的值，再由的对称性结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
选①③，根据题意求出函数的最小正周期，可求出的值，根据函数的最小值可求得的值，再由结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
选②③，根据题意求出函数的最小正周期，可求出的值，由的对称性结合的取值范围，可得出的值，由可求出的值，由此可得出函数的解析式；
利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间；
（2）由的取值范围可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值；
（3）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，令，分析可知，的图象与直线有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
选择①②
因为图象上两个相邻最高点的距离为，所以，因为，所以．
因为最小值为，且，所以．
因为图象关于点对称，
所以，所以．因为，所以．
所以．
选择①③
因为图象上两个相邻最高点的距离为，所以．因为，所以．
因为最小值为，且，所以．
因为图象过点，所以．因为，所以．
所以．
选择②③
因为图象上两个相邻最高点的距离为，所以．因为，所以．
因为图象关于点对称，
所以，所以．因为，所以．
因为图象过，所以，且，所以．
所以．
令，所以
所以，
所以且单调递增区间为．
【小问2详解】
因为，所以，所以．
当时，即时，，
当时，即时，．
【小问3详解】
图象向左平移个单位长度得到
的图象，
所以．
因为，令，所以．
题意即的图象与直线有两个交点，如下图所示：
所以．
20. 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若函数且，求的局部对称点；
（2）设函数，
（ⅰ）当时，，若对于，使得恒成立，求实数的取值范围；
（ⅱ）设函数，若在上有局部对称点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1或
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）令，建立方程，求解局部对称点即可.
（2）（ⅰ）结合给定条件转化为恒成立问题，再利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
（ⅱ）利用给定定义转化为二次函数有实数根的问题，再结合二次函数的性质求解参数范围即可.
【小问1详解】
令，则，
所以，所以．
因为，所以，所以，
所以的局部对称点为1或．
【小问2详解】
（ⅰ）当时，，
由二次函数性质得对称轴为，在时，，
又．
，
对于，令，
则可化为，
而，使得恒成立，
则恒成立，
此时，即恒成立，
而，故，
，
由基本不等式得，当且仅当时取等，
此时解得，故，得到.
（ⅱ）若有局部对称点，令，
即，
则．
令，则，当且仅当，即时取等．
题意即在时有实根，
即在时有实根．
令，
①当时，即，解得，
②当时，即4a2−42a2−8≥0a>24−4a+2a2−8>0，解得−22≤a≤22a>2a1+3，
即，综上可得．
21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①，；②，．
（2）给定，，点集．
（）求集合中与点相关点的个数；
（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.
【解析】
【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.
（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值．
【详解】若点，相关，则，，而，
不妨设，
则由定义可知，
化简变形可得，
（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；
②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.
（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
原点满足条件；
因此集合中共有个点与点相关.
（）若两个不同的点，相关，其中，，，，
可知.
下面证明.
若，则，成立；
若，则，
若，则，亦成立.
由于，
因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.
因此中元素个数的最大值为.
【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.