江苏省常州市北郊初级中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 含答案

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一．选择题（共8小题）
一.选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是
A．B．C．D．
【分析】根据有理数，算术平方根，无理数的定义判断即可．
【解答】解：是有理数；是有理数，是有理数；是无理数，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（2分）估计的值
A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间
【分析】先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．
【解答】解：，故；
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．
3．（2分）在△中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定△是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形内角和定理可判断、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断、是否是直角三角形．
【解答】解：、，
，
，
，
△是直角三角形，不符合题意；
、，
，
△是直角三角形，不符合题意；
、设，，，
，，，
△不是直角三角形，符合题意；
、符合勾股定理逆定理，
△是直角三角形，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
4．（2分）如图，在△中，，，，为的中点，则的长度为
A．5B．6C．8D．10
【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得．
【解答】解：在△中，，，，
由勾股定理得：，
在△中，为的中点，
则，
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．（2分）如图，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据邻补角的定义求出，再根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为
A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10
【分析】先根据非负数的性质列式求出、的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、2，
，
能组成三角形，，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、2、2，
能组成三角形，周长，
所以，三角形的周长为7或8．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
7．（2分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是
A．B．C．D．
【分析】结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可．
【解答】．如图，，不符合题意；
．如图，，不符合题意；
．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，符合题意；
．如图，，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．（2分）如图，边长为的等边△中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是
A．B．C．D．
【分析】首先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小．
【解答】解：如图，△，△都是等边三角形，
，，，
，
△△，
，
，，
，，
点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小，
，，
△是等边三角形，
，
，
，
△周长的最小值，
故选：．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点在射线上运动，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
二.填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）64的平方根是 ．
【分析】一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：，，
的平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．（2分）用四舍五入法将3.886精确到百分位，所得到的近似数为 3.89 ．
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】解：（精确到百分位）．
故答案为：3.89．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
11．（2分）若△△，，，则 ．
【分析】先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：△△，，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，能求出的度数是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
12．（2分）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为 150 ．
【分析】先根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：，
该三角形是直角三角形，
其面积．
故答案为150．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及三角形面积的综合运用能力，难度适中．
13．（2分）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，要使，还需要添加一个条件是 ．
【分析】已知，，再加上条件，可根据判定．
【解答】解：添加条件：．
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2分）如图在△中，，是△的角平分线，于点，，△周长为12，则的长是 8 ．
【分析】先根据，△周长为12得，再根据角平分线性质得，由此根据可即可得出答案．
【解答】解：，△周长为12，
，
，
是△的角平分线，，于点，
，
，
．
即的长为8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
15．（2分）如图，南京地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的，两段构成，若段长度为，点，之间的距离比段长，则段的长度为 15 ．
【分析】连接，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接，
，，，
，
，
，
故答案为：15．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2分）如图是的中线，，，把沿直线折叠后，点落在的位置上，那么为 2 ．
【分析】根据中点的性质得．再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求．
【解答】解：根据题意：，为的中点；
故．
由轴对称的性质可得：，，
则，
故为等边三角形，
即可得．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，同时考查了等边三角形的性质和判定，判定出为等边三角形是关键．
17．（2分）如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为 ．
【分析】设小矩形木块的长为，宽为，则小矩形木块的面积为，大矩形的长为，宽为，根据题意得得到方程，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设小矩形木块的长为，宽为，则小矩形木块的面积为，大矩形的长为，宽为，
根据题意得，
化简得，
一个小矩形木块的对角线的长．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．（2分）如图，．，点是射线上一动点，设，要使△的形状、大小是唯一确定，则的取值范围是或． ．
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：当时，由判定只能作出唯一一个△，
，
△是等腰直角三角形，
，
当时，能作出唯一一个△，
的取值范围是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
三.解答题（共8小题，第21题6分，第26题10分，其余每题8分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法法则计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（8分）求下列各式中的
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
．
【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
21．（6分）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：．
【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明△△，则．
【解答】证明：点、、、在同一直线上，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明△△是解题的关键．
22．（8分）如图，一条南北走向的高速公路经过县城，村庄位于高速公路西侧，村庄和县城之间有一大型水库，无法直达．村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城，为方便村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，千米，千米，千米．
（1）新公路是否为村庄到高速公路的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求村庄到县城的直线距离（即线段的长）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形即可求解；
（2）在△中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：（1），
△是直角三角形，，
，
新公路为村庄到高速公路的最近路；
（2）设千米，则千米，
在△中，由勾股定理得，
，
，
解得，
即村庄到县城的直线距离为25千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
23．（8分）如图，在△中，，，为的延长线上一点，过点作，分别交，于点，．
（1）求证：△是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出，根据等腰三角形的判定定理即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
，
，
△是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
24．（8分）如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求△的周长．
【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出，进而解答即可．
【解答】（1）证明：，，
，
是的中点，
；
（2）解：，，
点是的中点，
，
，
，
△的周长．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
25．（8分）尺规作图，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．
（1）如图①，已知是直线外一点，在直线上求作一点，使得直线垂足为．
（2）如图②，在直线上找一点点，使点到射线和的距离相等．
（3）如图③，在上找一点，使点到、两点的距离相等．
（4）如图④，在边上找一点，使点到点的距离等于到边的距离．
【分析】（1）如图①中，根据要求作出图形；
（2）如图②中，作的角平分线交于点，点即为所求；
（3）如图③中，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
（4）如图④中，过作的垂线交的延长线于，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，到的距离和到的距离相等，也即到点的距离等于到的距离，为所求．
【解答】解：（1）如图①中，直线即为所求；
（2）如图②中，点即为所求；
（3）如图③中，点即为所求；
（4）如图④中，点即为所求；
【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
26．（10分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△中，，，平分，试判断和、之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，如图2，在上截取，连接，得到一对全等的三角形，从而将问题解决．
请回答：
（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ △ ；和、之间的数量关系是 ．
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，平分，，，．求的长．
（3）如图4，已知，，是的中点，为上一点，且，连接，，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）易证△△，，进而得解；
（2）在上截取，连接，先证△△得，，作，设，利用勾股定理求得，根据可得答案；
（3）在上取，使得，先证△△得，，再证△△得，根据代入求解可得．
【解答】解：（1）如图2，在上截取，连接，
平分，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：△，△，；
（2）在上截取，连接，如图3所示：
平分，
．
在△和△中，
，
△△，
，，
过点作于点，
，
设．
在△中，，
由勾股定理得，
在△中，，由勾股定理得．
．
解得：，
，
的长为21；
（3），理由如下：
如图4，在上取，使得，
是中点，
，
，
△△，
，，
，
，
，
在△和△中，
△△，
，
则．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
B
A
C
B