14.2.5.2三角形全等判定的综合应用-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

14.2.5.2 三角形全等判定的综合应用幻灯片 1：封面标题：14.2.5.2 三角形全等判定的综合应用副标题：多方法融合，破复杂场景 —— 全等判定的实战策略配图：包含 “全等判定方法选择流程图”“综合几何图形（含平移 / 旋转 / 翻折）”“实际问题建模示意图” 的组合图署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（综合应用的必要性）复杂几何场景的挑战如图 1（平移场景）：△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF，已知 AB=DE，∠A=∠D，如何证明△ABC≌△DEF？（需结合平移性质找隐含条件）；如图 2（旋转场景）：△ABC 绕点 A 旋转 60° 得到△ADE，AB=AD，AC=AE，如何证明△ABC≌△ADE？（需识别旋转带来的角相等）；如图 3（实际问题）：测量池塘两端 A、B 距离时，在岸边取点 C，使 AC⊥BC，延长 AC 至 D，使 CD=AC，连接 BD，为何 BD 的长度等于 AB？（需通过全等将不可测线段转化为可测线段）。问题聚焦面对含平移、旋转、翻折的复杂图形，如何挖掘隐含条件（如公共边、对顶角、平移 / 旋转带来的边 / 角相等）？当多个判定方法均适用时，如何选择最优方法简化证明过程？如何将实际问题转化为全等三角形模型，用判定定理解决？引出主题：本节课将通过 “图形变换场景”“多条件融合场景”“实际应用场景” 三类综合题型，系统讲解全等判定的实战策略，帮助你熟练掌握 “条件分析→方法选择→规范证明” 的解题流程。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能能根据图形变换（平移、旋转、翻折）的性质，挖掘全等判定所需的隐含条件（如平移得边平行 / 相等，旋转得角相等）；能在多条件场景中（如含角平分线、垂直、中线），灵活选择 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 中的最优判定方法；能将实际问题（如测量不可达距离、证明线段和差）转化为全等三角形模型，用判定定理解决；能规范书写多步推导的证明过程，做到 “每步有据，逻辑连贯”。过程与方法通过 “复杂图形拆解→隐含条件挖掘→方法匹配→规范证明” 的过程，培养几何直观与逻辑推理能力；经历 “从几何图形到实际问题” 的建模过程，体会 “数学抽象” 与 “转化思想” 的应用。情感态度与价值观在复杂问题的突破中，培养耐心与严谨的思维习惯，提升几何解题的信心；感受全等判定在实际生活中的应用价值，体会数学与现实的紧密联系。二、教学重难点重点：复杂图形中隐含条件的挖掘；多条件下全等判定方法的最优选择；实际问题的全等建模；难点：含多种图形变换（如平移 + 旋转）的综合图形中，边 / 角关系的推导；需添加辅助线构造全等三角形的场景（如倍长中线、截长补短）；全等判定与其他几何性质（如平行线、角平分线、勾股定理）的融合应用。幻灯片 4：核心策略 1—— 图形变换中的全等判定（平移 / 旋转 / 翻折）一、平移变换中的全等应用关键性质平移后对应边平行且相等，对应角相等，对应点连线平行且相等（隐含边 / 角相等条件）。典型例题例题 1：如图，△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF，点 B、E、C、F 在同一直线上，且 BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。分析与证明：挖掘隐含条件：平移得 AB∥DE，AC∥DF→∠B=∠DEF，∠ACB=∠F（平行线性质）；BE=CF→BE+EC=CF+EC→BC=EF（等式性质）；选择判定方法：ASA（∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F）；规范证明：证明：∵ △ABC沿BC方向平移至△DEF（已知），∴ AB∥DE，AC∥DF（平移的性质），∴ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F（两直线平行，同位角相等）。∵ BE = CF（已知），∴ BE + EC = CF + EC（等式性质），即 BC = EF。在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠B = ∠DEF（已证）， \\ BC = EF（已证）， \\ ∠ACB = ∠F（已证）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。二、旋转变换中的全等应用关键性质旋转后对应边相等，对应角相等，旋转角相等（隐含边相等、角相等条件）。典型例题例题 2：如图，△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△ADE，且 AB=AD，AC=AE，求证：△ABC≌△ADE。分析与证明：挖掘隐含条件：旋转得∠BAC=∠DAE（旋转角相等）；选择判定方法：SAS（AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE）；规范证明（略，参照 SAS 标准格式）。三、翻折变换中的全等应用关键性质翻折后对应边相等，对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线（隐含边相等、角相等、垂直条件）。典型例题例题 3：如图，将△ABC 沿 AD 翻折，点 C 落在点 E 处，已知 AB=AE，∠BAD=∠EAD，求证：△ABD≌△AED。分析与证明：挖掘隐含条件：翻折得 AC=AE，∠C=∠E（此处已知 AB=AE，需验证 AB=AC 或直接用 SAS）；选择判定方法：SAS（AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD）；规范证明（略）。幻灯片 5：核心策略 2—— 多条件融合的全等判定（含角平分线 / 垂直 / 中线）一、含角平分线的全等应用关键思路角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）可提供直角边相等，结合公共边可构造 HL 或 AAS 全等。典型例题例题 4：如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，BD=CD，求证：△BDE≌△CDF。分析与证明：挖掘条件：AD 平分∠BAC→DE=DF（角平分线性质）；∠DEB=∠DFC=90°（垂直定义）；选择方法：HL（Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，BD=CD，DE=DF）；规范证明（简）：证明：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE = DF（角平分线的性质），∠DEB = ∠DFC = 90°（垂直的定义）。在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD = CD（已知）， \\ DE = DF（已证）， \end{cases}$∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。二、含中线的全等应用（倍长中线法）关键思路延长中线至两倍长度，构造对顶角相等与边相等，转化为 SAS 全等（解决 “中线 + 边 / 角” 条件的问题）。典型例题例题 5：如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB=5，AC=7，求证：2AD < AB + AC。分析与证明：添加辅助线：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE（倍长中线）；证全等：用 SAS 证△ADC≌△EDB（AD=DE，∠ADC=∠EDB，CD=BD）→BE=AC=7；应用三边关系：在△ABE 中，AE < AB + BE→2AD < 5 + 7→2AD < 12（即 2AD < AB + AC）；规范证明（略，重点体现辅助线作法与全等转化）。三、含垂直的全等应用关键思路垂直提供直角条件，可结合 SAS（两直角边相等）、HL（斜边 + 直角边）、AAS（直角 + 锐角 + 边）判定全等。典型例题例题 6：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：△ABC≌△BAD。分析与证明：挖掘条件：∠ACB=∠BDA=90°；AB=BA（公共斜边）；AC=BD（已知）；选择方法：HL（Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，AB=BA，AC=BD）；规范证明（略）。幻灯片 6：核心策略 3—— 实际问题的全等建模（测量 / 证明）一、不可达距离测量（转化思想）典型问题如何测量池塘两端 A、B 的距离（无法直接测量）？建模与解决构造全等三角形：步骤 1：在岸边取点 C，使 AC⊥BC（用直角工具确保）；步骤 2：延长 AC 至 D，使 CD=AC（用卷尺测量，确保 CD=AC）；步骤 3：连接 BD，测量 BD 的长度，即为 AB 的长度；原理证明：证△ABC≌△DBC（SAS：AC=CD，∠ACB=∠DCB=90°，BC=BC）→AB=BD；规范证明（简）：证明：∵ AC⊥BC，DC⊥BC（构造的垂直条件），∴ ∠ACB = ∠DCB = 90°（垂直的定义）。在△ABC和△DBC中，$\begin{cases} AC = DC（构造的相等条件）， \\ ∠ACB = ∠DCB（已证）， \\ BC = BC（公共边）， \end{cases}$∴ △ABC ≌ △DBC（SAS）。∴ AB = DB（全等三角形的对应边相等）。即测量BD的长度即为AB的长度。二、线段和差证明（截长补短法）典型例题例题 7：如图，在△ABC 中，∠B=60°，AD、CE 分别平分∠BAC、∠BCA，AD、CE 交于点 O，求证：AC=AE + CD。分析与证明：添加辅助线：在 AC 上截取 AF=AE，连接 OF（截长法）；证△AEO≌△AFO（SAS：AE=AF，∠EAO=∠FAO，AO=AO）→∠AEO=∠AFO；证△CDO≌△CFO（AAS：∠DCO=∠FCO，∠CDO=∠CFO，CO=CO）→CD=CF；结论推导：AC=AF + CF=AE + CD；规范证明（略，重点体现辅助线与两次全等的衔接）。幻灯片 7：课堂互动（综合场景实战演练）任务 1：图形变换综合题题目：如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接 BD、CE，求证：△ABD≌△ACE。要求：4 人一组，分析图形特征（等腰直角三角形 + 共顶点旋转），挖掘隐含条件（∠BAD=∠CAE：∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD）；选择判定方法（SAS），规范书写证明过程；派代表展示，说明旋转场景中 “角的和差” 隐含条件的推导思路。任务 2：实际问题建模题题目：如图，工人师傅要检测门框 ABCD 是否为矩形（∠A=∠B=∠C=∠D=90°），他用卷尺测量了 AB=CD，AD=BC，且 AC=BD，请问他如何通过全等判定证明门框为矩形？要求：小组讨论：先证△ABC≌△DCB（SSS：AB=CD，AD=BC，AC=BD）→∠ABC=∠DCB；结合 AB∥CD（由△ABC≌△DCB 得内错角相等），推导∠ABC+∠DCB=180°→∠ABC=90°；同理证其他角为 90°，总结 “全等 + 平行性质” 的建模逻辑。幻灯片 8：中考真题演练（综合应用）题目 1（2024・广东中考）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 BE、DF，求证：BE=DF。解析：证△ABE≌△CDF：AB∥CD→∠A=∠D；AB=CD；E 是 AD 中点→AE=DE；用 SAS 证全等→BE=DF；或证四边形 BEDF 是平行四边形：先证△ABD≌△CDB（SSS）→AD=BC，再结合 E、F 是中点得 DE=BF，DE∥BF→平行四边形→BE=DF；证明过程（SAS 方法）：证明：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠A = ∠D（两直线平行，内错角相等）。∵ E是AD的中点（已知），∴ AE = DE（中点的定义）。在△ABE和△CDF中，$\begin{cases} AB = CD（已知）， \\ ∠A = ∠D（已证）， \\ AE = DE（已证）， \end{cases}$∴ △ABE ≌ △CDF（SAS）。∴ BE = DF（全等三角形的对应边相等）。题目 2（2024・江苏中考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 AE=CF，连接 DE、DF，求证：DE=DF。解析：连接 CD（等腰直角三角形三线合一）→CD=AD=BD，∠A=∠DCF=45°；证△ADE≌△CDF（SAS：AE=CF，∠A=∠DCF，AD=CD）→DE=DF；证明过程（简）：证明：连接CD。∵ ∠ACB=90°，AC=BC，D是AB中点，∴ CD = AD，∠A = ∠DCF = 45°（等腰直角三角形性质）。在△ADE和△CDF中，$\begin{cases} AE = CF（已知）， \\ ∠A = ∠DCF（已证）， \\ AD = CD（已证）， \end{cases}$∴ △ADE ≌ △CDF（SAS）。∴ DE = DF（全等三角形的对应边相等）。幻灯片 9：课堂小结核心解题流程条件分析：显性条件：题目直接给出的边 / 角相等（如 AB=CD，∠A=∠D）；隐性条件：图形性质（平移 / 旋转 / 翻折带来的边 / 角相等）、公共边 / 角、对顶角、垂直 / 角平分线 / 中线性质；方法选择：边多角少→优先 SSS；边少角多→优先 ASA/AAS；边 + 角（角为夹边）→优先 SAS；直角三角形→优先 HL（斜边 + 直角边）；规范证明：【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习回顾三边分别相等两边及其夹角分别相等两角及其夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等SSSSASAASASAHL斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等推进新课例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明△BCF≌△DAEBC=DA (已知)CF=AE (已知)∠1=∠2证明△ABC≌△CDAAB=CD (已知)BC=DA (已知)AC=CA (公共边)例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC≌△CDA .(SSS)∴∠1 = ∠2. (全等三角形的对应角相等)例8 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. ∴ △BCF≌△DAE .(SAS)∴ BF = DE.(全等三角形的对应边相等)在△BCF 和△DAE 中例9 求证：全等三角形对应边上的高相等.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′. AD，A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 对应边上的高.求证：AD＝ A′D′ .证明 ∵△ABC≌△A′B′C′，(已知) ∴ AB = A'B'，∠B =∠B’.(全等三角形对应边相等、对应角相等)∵AD，A′D′分别是△ABC ，△A′B′C′的高，(已知) ∴∠ADB =∠A'D'B' = 90°. (垂直的定义)在△ABD 和△A'B'D' 中， ∠B =∠B′，(已证) ∠ADB =∠A′D′B′，(已证) AB = A'B'，(已证)∴△ABD≌△A'B'D'(AAS). ∴ AD = A'D'.(全等三角形对应边相等)∴ AD = A'D′.(等式的性质)另证（借助“面积法”来证明）：∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)∴BC = B'C'，S△ABC= S△A'B'C'(全等三角形的对应边相等、面积相等)  练一练1.如图，AB=CD，AD=BC，DE=BF. 求证：BE=DF.证明 如图，连接DB.在△ABD和△CDB中，∴△ABD ≌△CDB（SSS）. ∴∠A=∠C. 在△EAB和△FCD中，∴△EAB≌△FCD（SAS）. ∴BE=DF. 1.如图，AB=CD，AD=BC，DE=BF. 求证：BE=DF.练一练∵DE=BF， ∴AD+DE=CB+BF，即AE=CF. 2.已知：如图，AB = AC，BD = CD，E 为 AD 上一点，求证： BE = CE.证明：在△ABD 和△ACD 中，∴ ∠BAD =∠CAD.∴ BE = CE.在△ABE 和△ACE 中，∴△ABD≌△ACD. (SSS)∴△ABE≌△ACE. (SAS)3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证：OB＝OC.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°. ∵AO 平分∠BAC， ∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∴△AOD≌△AOE. (AAS)∴ OD＝OE.3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证：OB＝OC.在△BOD 和△COE 中，∴△BOD≌△COE. (ASA)∴ OB＝OC.随堂演练1.已知：如图，AB//CD，AB=CD，AD与BC交于点O. EF过点O，分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF.【教材P109 练习 T1】证明：∵AB//CD，(已知)∴∠A=∠D，∠B=∠C.(两直线平行，内错角相等)又∵AB=DC，(已知)∴△ABO≌△DCO.(ASA)∴OA=OD.(全等三角形的对应边相等)在△AOE和△DOF中，∴△AOE≌△DOF.(ASA)∴OE=OF. (全等三角形的对应边相等)2.已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，AC，DE交于点N，AE，BC交于点M.(1)求证：△ABC≌△ADE；【教材P109 练习 T2】证明：∵∠BAE=∠DAC，(已知)∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，(等式的性质)即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE.(SAS)2.已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，AC，DE交于点N，AE，BC交于点M.(2)BM=DN成立吗？为什么？【教材P109 练习 T2】解：BM=DN成立. 理由：∵△ABC≌△ADE，(已证)∴∠B=∠D. (全等三角形的对应角相等)在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN.(ASA)∴BM=DN. (全等三角形的对应边相等)3.求证：全等三角形对应边上的中线相等.【教材P109 练习 T3】已知：如图所示，△ABC≌△A′B′C′，AD是BC边上的中线，A′D′是B′C′边上的中线.求证：AD=A′D′.证明：∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)∴∠B=∠B′，AB=A′B′，BC=B′C′.(全等三角形的对应角相等，对应边相等)又∵D，D′分别是BC，B′C′边的中点，(已知) ∴BD=B′D′. (等量代换)3.求证：全等三角形对应边上的中线相等.【教材P109 练习 T3】在△ABD和△A′B′D′中，∴△ABD≌△A′B′D′.(SAS)∴AD=A′D′ (全等三角形的对应边相等)应用1 用“SAS”判定两个三角形全等       返回             返回课堂小结全等三角形对应边上的高相等对应边上的中线相等对应角的平分线相等面积相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！