6.1.2加权平均数（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

6.1.2 加权平均数在实际生活中，我们遇到的数据往往并非同等重要，某些数据可能对结果的影响更大。这时，简单的算术平均数就无法准确反映数据的真实水平，需要引入 “权” 来体现数据的重要程度，进而计算加权平均数。加权平均数是算术平均数的延伸，它能更合理地处理带有不同权重的数据。本节将学习加权平均数的概念、计算公式、“权” 的意义以及在实际问题中的应用。一、加权平均数的概念与 “权” 的意义（一）加权平均数的概念加权平均数是指在一组数据中，每个数据乘以相应的权重后求和，再除以权重总和所得到的平均数。它考虑了不同数据在总体中的重要程度，权重越大，对应的数据对平均数的影响就越大。（二）“权” 的意义“权” 即权重，是衡量每个数据重要性的数值，通常用比例、百分比、次数、频数等形式表示。权重的作用是调整数据在平均数计算中的贡献程度：当数据的重要性不同时，权重可以体现这种差异。例如，在考试成绩中，期末考试成绩的权重通常比期中考试成绩高，因为它更能反映学生的最终学习成果。当数据出现的次数不同时，次数可以作为权重。例如，在统计某商品的平均售价时，不同售价对应的销售量就是权重，销售量越大的售价对平均售价的影响越大。二、加权平均数的计算公式（一）基本公式设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，对应的权重为\(w_1, w_2, \cdots, w_n\)（权重均为正数），则这组数据的加权平均数\(\bar{x}_权\)的计算公式为：\(\bar{x}_权=\frac{x_1w_1 + x_2w_2+\cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2+\cdots + w_n}\)其中，\(x_i\)为第\(i\)个数据，\(w_i\)为第\(i\)个数据的权重，权重之和\(w_1 + w_2+\cdots + w_n\)称为总权重。（二）特殊形式当权重为百分比时（权重之和为 1），公式可简化为：\(\bar{x}_权=x_1p_1 + x_2p_2+\cdots + x_np_n\)其中\(p_1, p_2, \cdots, p_n\)为百分比权重（\(p_1 + p_2+\cdots + p_n = 1\)）。当权重为数据出现的次数时，加权平均数公式与算术平均数公式一致（此时次数即为权重），这说明算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等的情况）。三、实例解析（一）按比例权重计算例 1：某公司招聘员工，笔试、面试和实习成绩分别按 40%、30%、30% 的权重计入总成绩。若某应聘者的笔试成绩为 85 分，面试成绩为 90 分，实习成绩为 88 分，求该应聘者的总成绩。解题步骤：确定数据和对应权重：笔试成绩\(x_1 = 85\)，权重\(w_1 = 40\%\)；面试成绩\(x_2 = 90\)，权重\(w_2 = 30\%\)；实习成绩\(x_3 = 88\)，权重\(w_3 = 30\%\)；代入加权平均数公式（百分比形式）：\(\bar{x}_权=85×40\%+90×30\% + 88×30\%\)\(=85×0.4+90×0.3 + 88×0.3\)\(=34 + 27+26.4\)\(=87.4\)。答：该应聘者的总成绩为 87.4 分。（二）按次数权重计算例 2：某商店销售一种水果，10 元 / 千克的售价销售了 20 千克，12 元 / 千克的售价销售了 30 千克，15 元 / 千克的售价销售了 10 千克，求这种水果的平均售价。解题步骤：确定数据和对应权重：售价\(x_1 = 10\)元 / 千克，权重\(w_1 = 20\)千克；售价\(x_2 = 12\)元 / 千克，权重\(w_2 = 30\)千克；售价\(x_3 = 15\)元 / 千克，权重\(w_3 = 10\)千克；计算总销售额：\(10×20 + 12×30+15×10=200 + 360+150=710\)元；计算总销售量（总权重）：\(20 + 30+10=60\)千克；代入加权平均数公式：\(\bar{x}_权=\frac{710}{60}\approx11.83\)元 / 千克。答：这种水果的平均售价约为 11.83 元 / 千克。（三）混合权重计算例 3：某班学生的数学成绩统计如下：90 分以上的有 5 人，80-89 分的有 15 人，70-79 分的有 20 人，60-69 分的有 8 人，60 分以下的有 2 人。若各分数段的代表值分别为 95 分、85 分、75 分、65 分、30 分，求该班学生的平均数学成绩。解题步骤：确定数据和对应权重：代表值\(x_1 = 95\)，权重\(w_1 = 5\)；\(x_2 = 85\)，权重\(w_2 = 15\)；\(x_3 = 75\)，权重\(w_3 = 20\)；\(x_4 = 65\)，权重\(w_4 = 8\)；\(x_5 = 30\)，权重\(w_5 = 2\)；计算总分数：\(95×5+85×15 + 75×20+65×8+30×2\)\(=475 + 1275+1500 + 520+60\)\(=475+1275 = 1750\)；\(1750+1500 = 3250\)；\(3250+520 = 3770\)；\(3770+60 = 3830\)；计算总人数（总权重）：\(5 + 15+20 + 8+2=50\)；计算平均成绩：\(\bar{x}_权=\frac{3830}{50}=76.6\)分。答：该班学生的平均数学成绩为 76.6 分。（四）权重为比例的应用例 4：某公司生产的产品分为 A、B、C 三个等级，本月生产的 A 等级产品占 40%，B 等级占 50%，C 等级占 10%。各等级产品的利润率分别为 20%、15%、5%，求该公司本月产品的平均利润率。解题步骤：确定数据和对应权重：利润率\(x_1 = 20\%\)，权重\(w_1 = 40\%\)；\(x_2 = 15\%\)，权重\(w_2 = 50\%\)；\(x_3 = 5\%\)，权重\(w_3 = 10\%\)；代入加权平均数公式：\(\bar{x}_权=20\%×40\%+15\%×50\% + 5\%×10\%\)\(=0.2×0.4+0.15×0.5 + 0.05×0.1\)\(=0.08 + 0.075+0.005\)\(=0.16 = 16\%\)。答：该公司本月产品的平均利润率为 16%。四、加权平均数与算术平均数的关系包含关系：算术平均数是加权平均数的特殊情况，当所有数据的权重相等时（即\(w_1 = w_2=\cdots = w_n\)），加权平均数公式简化为算术平均数公式：\(\bar{x}_权=\frac{x_1w + x_2w+\cdots + x_nw}{w + w+\cdots + w}=\frac{w(x_1 + x_2+\cdots + x_n)}{nw}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}=\bar{x}\)差异关系：加权平均数考虑了数据的重要性差异，而算术平均数假设所有数据同等重要。在实际应用中，当数据的重要性不同时，必须使用加权平均数才能得到合理的结果；若数据重要性相同，则可使用算术平均数。五、常见误区混淆权重与数据：在计算加权平均数时，误将数据本身当作权重，或反之，导致公式应用错误。例如，在例 2 中，将售价当作权重、销售量当作数据进行计算。权重处理错误：当权重为百分比时，忘记将百分比转化为小数或分数，直接使用百分比数值计算，导致结果放大 100 倍。例如，将 40% 直接当作 40 代入公式。忽略权重总和：在计算时未正确计算总权重，或总权重计算错误，导致平均数结果偏差。例如，在例 3 中，漏算某一分数段的人数，使总人数减少。滥用算术平均数：在数据重要性不同的场景下，错误地使用算术平均数代替加权平均数，导致结果不能反映实际情况。例如，计算不同权重的考试总成绩时使用算术平均数。六、课堂总结核心概念：加权平均数是考虑数据权重后的平均数，权重反映数据的重要程度或出现次数，计算公式为\(\bar{x}_权=\frac{x_1w_1 + x_2w_2+\cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2+\cdots + w_n}\)。权重意义：权重可以是比例、百分比、次数等，权重越大，对应数据对平均数的影响越大。与算术平均数的关系：算术平均数是加权平均数的特殊情况（权重相等），加权平均数更具普适性。应用关键：根据数据特点正确确定权重，准确代入公式计算，避免混淆数据与权重，确保总权重计算正确。通过本节的学习，我们掌握了加权平均数的计算方法，理解了权重在数据分析中的重要作用。加权平均数能够更客观地反映数据的实际水平，在成绩评定、市场分析、质量评估等领域有着广泛的应用，是数据分析中不可或缺的工具。七、课后作业某学生的语文、数学、英语成绩分别为 80 分、90 分、85 分，若这三科的权重分别为 3、4、3，求该学生的加权平均成绩。某超市购进一批鸡蛋，单价为 5 元 / 千克的有 100 千克，单价为 5.5 元 / 千克的有 200 千克，单价为 6 元 / 千克的有 150 千克，求这批鸡蛋的平均单价。某公司员工的月工资情况如下：经理 1 人，月工资 8000 元；主管 2 人，月工资 6000 元；普通员工 12 人，月工资 3000 元。求该公司员工的月平均工资。某选秀比赛中，评委打分、观众投票、网络投票的权重分别为 50%、30%、20%。某选手的评委打分为 92 分，观众投票得分为 85 分，网络投票得分为 90 分，求该选手的最终得分。某班 40 名学生参加体育测试，其中优秀的有 10 人（90 分），良好的有 20 人（80 分），及格的有 8 人（60 分），不及格的有 2 人（40 分），求该班体育测试的平均成绩。2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 经历数据的收集与处理的过程，探索算术平均数与加权平均数的联系和区别，提高学生的统计意识和数据处理的能力，通过有关平均数问题的解决，提高学生的数学应用能力．2．通过解决实际问题体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心．重点难点一般地，对于n个数x1 ，x2 ，… ，xn ，我们把 1.什么是算术平均数？2.什么是加权平均数？ 一般地,如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次, ……，xk出现fk次(这时 f1+f2+……+fk=n ),那么这n个数的加权平均数为问题一 某学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分),其中三个班级的成绩分别如下：（1）若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流.解:(1)一班的广播操成绩为： 9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%=8.4(分) 二班的广播操成绩为： 10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%=8.1(分) 三班的广播操成绩为： 8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%=8.6(分) 因此，三班的广播操成绩最高. (2)权有差异，得出的结果就会不同，也就是说 权的差异对结果有影响. 小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200 元，其他支出为7200 元.小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？ 以下是小明和小亮的两种解法，谁做得对？说说你的理由. 小明:(9%+30%+6%)÷3=15% 小亮:(9%×3600+30%×1200+6%×7200) ÷(3600+1200+7200)=9.3%问题二 由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600，1200,7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为小亮的解法是对的. 日常生活中的许多“平均” 现象是“加权平均”. 你能举出生活中加权平均数的实例吗？你知道大学里学期总评成绩是如何计算的吗？ 是否简单地将平时成绩与考试成绩相加除以2呢？是按照“平时成绩40%，考试成绩60%”的比例计算， 假如平时成绩70分，考试成绩为90分，那么学期总评成绩为多少？70×40%+90×60%=82（分）82分是上述两个成绩的加权平均数解:(1)1小明的平均速度是(15×1+5×1)÷(1+1)=10（千米/时）.(2)小明的平均速度是(15×2+5×3)÷(2+3)=9（千米/时）,小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时.(1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？(2)如果小明先骑自行车2小时，然后步行了3小时，那么他的平均速度是多少？你能从权的角度来理解这样的平均速度吗？小明骑自行车和步行的时间2小时，3小时分别是骑自行车和步行速度的权.射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是_________环．8.5　1.面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分，70分，85分，若依次按 30%，30%，40% 的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是多少？解:80×30%+70×30%+85×40%=79(分)答：这个人的面试成绩是79分.知识点1 加权平均数 C  返回 BA.9.3分B.8.9分C.9分D.9.6分 返回 85.8 返回知识点2 加权平均数与算术平均数的关系 D  返回5.某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”。下表是小明和小勇两名同学某学科的成绩。（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，则小明的学期综合评价成绩为____分；85 不能 返回加权平均数的应用加权平均数的影响加权平均数的实际应用权的不同，导致结果不同，故权的差异对结果有影响必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.