6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

6.1.1 平均数与方差在数据分析中，平均数和方差是描述数据特征的两个重要统计量。平均数反映了数据的集中趋势，即数据的平均水平；方差则反映了数据的离散程度，即数据相对于平均数的波动大小。掌握平均数和方差的计算方法及其意义，对于分析数据、做出决策具有重要作用。本节将详细学习平均数和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。一、平均数（一）基本概念平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标。常见的平均数有算术平均数，对于一组数据，通常所说的平均数即指算术平均数。（二）计算公式设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，则这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)（读作 “\(x\)拔”）的计算公式为：\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots + x_n}{n}\)其中，\(n\)为数据的个数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)为各个数据的值。（三）实例解析例 1：某学习小组 6 名同学的数学成绩（单位：分）分别为：85，92，78，90，88，95，求这组成绩的平均数。解题步骤：确定数据个数\(n = 6\)；计算数据总和：\(85+92 + 78+90+88+95\)\(= (85 + 95)+(92 + 88)+(78 + 90)\)\(= 180+180 + 168\)\(= 528\)；根据公式计算平均数：\(\bar{x}=\frac{528}{6}=88\)。答：这组成绩的平均数为 88 分。例 2：某班 40 名学生的身高（单位：cm）统计如下表，求该班学生的平均身高。身高155160165170175人数5101573解题步骤：明确数据与对应个数：身高分别为 155、160、165、170、175，对应人数分别为 5、10、15、7、3；计算数据总和：\(155×5+160×10 + 165×15+170×7+175×3\)\(= 775+1600 + 2475+1190+525\)\(= 775+1600 = 2375\)；\(2375+2475 = 4850\)；\(4850+1190 = 6040\)；\(6040+525 = 6565\)；数据总个数\(n=5 + 10+15 + 7+3=40\)；计算平均数：\(\bar{x}=\frac{6565}{40}=164.125\)。答：该班学生的平均身高为 164.125cm。二、方差（一）基本概念方差是用来衡量一组数据波动大小的量。一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，说明这组数据的波动越小，数据越稳定。（二）计算公式设一组数据为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则这组数据的方差\(s^2\)的计算公式为：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]\)其中，\(n\)为数据的个数，\(\bar{x}\)为这组数据的平均数，\((x_i-\bar{x})^2\)表示每个数据与平均数的差的平方。（三）实例解析例 3：求例 1 中 6 名同学数学成绩的方差。解题步骤：由例 1 可知，这组数据的平均数\(\bar{x}=88\)；计算每个数据与平均数的差的平方：\((85 - 88)^2=(-3)^2 = 9\)；\((92 - 88)^2=4^2 = 16\)；\((78 - 88)^2=(-10)^2 = 100\)；\((90 - 88)^2=2^2 = 4\)；\((88 - 88)^2=0^2 = 0\)；\((95 - 88)^2=7^2 = 49\)；计算这些平方差的总和：\(9+16 + 100+4+0+49=178\)；根据公式计算方差：\(s^2=\frac{1}{6}×178\approx29.67\)。答：这组成绩的方差约为 29.67。例 4：甲、乙两名运动员在最近几次训练中的跳高成绩（单位：m）如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75分别计算甲、乙两名运动员跳高成绩的方差，并比较谁的成绩更稳定。解题步骤：计算甲运动员成绩的平均数\(\bar{x}_甲\)：\(\bar{x}_甲=\frac{1.70 + 1.65+1.68 + 1.69+1.72 + 1.73+1.68 + 1.67}{8}\)\(=\frac{(1.70+1.67)+(1.65+1.73)+(1.68+1.68)+(1.69+1.72)}{8}\)\(=\frac{3.37+3.38 + 3.36+3.41}{8}\)\(=\frac{13.52}{8}=1.69\)；计算甲运动员成绩的方差\(s_甲^2\)：\(s_甲^2=\frac{1}{8}[(1.70 - 1.69)^2+(1.65 - 1.69)^2+(1.68 - 1.69)^2+(1.69 - 1.69)^2+(1.72 - 1.69)^2+(1.73 - 1.69)^2+(1.68 - 1.69)^2+(1.67 - 1.69)^2]\)\(=\frac{1}{8}[0.0001+0.0016 + 0.0001+0+0.0009+0.0016+0.0001+0.0004]\)\(=\frac{1}{8}×0.0048 = 0.0006\)；计算乙运动员成绩的平均数\(\bar{x}_乙\)：\(\bar{x}_乙=\frac{1.60 + 1.73+1.72 + 1.61+1.62 + 1.71+1.70 + 1.75}{8}\)\(=\frac{(1.60+1.75)+(1.73+1.61)+(1.72+1.62)+(1.71+1.70)}{8}\)\(=\frac{3.35+3.34 + 3.34+3.41}{8}\)\(=\frac{13.44}{8}=1.68\)；计算乙运动员成绩的方差\(s_乙^2\)：\(s_乙^2=\frac{1}{8}[(1.60 - 1.68)^2+(1.73 - 1.68)^2+(1.72 - 1.68)^2+(1.61 - 1.68)^2+(1.62 - 1.68)^2+(1.71 - 1.68)^2+(1.70 - 1.68)^2+(1.75 - 1.68)^2]\)\(=\frac{1}{8}[0.0064+0.0025 + 0.0016+0.0049+0.0036+0.0009+0.0004+0.0049]\)\(=\frac{1}{8}×0.0252 = 0.00315\)；比较方差：因为\(0.0006