安徽省池州市贵池区2025_2026学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份安徽省池州市贵池区2025_2026学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了 已知点，点P在圆C， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
命题单位：池州二中
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题（每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，
则，且，所以.
故选：C.
2. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 或1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线平行的判定列出式子，解方程组即可得出答案.
【详解】由题意得，，
解得.
故选：D.
3. 在四面体中，点满足，为中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】在四面体中，点满足，为中点，
连接，则，
又因为，所以，
所以.
故选：B.
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果.
【详解】因为向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B．
5. 已知点，若直线与线段相交，则该取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定直线过定点，求出直线的斜率，由直线与线段相交得出斜率的不等关系，从而可得结论.
【详解】直线，即，令，解得，
直线过定点，
，，
直线可化为，其斜率为，
直线与线段相交，直线斜率为需要满足，
即或.
故选：
6. 已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（ ）
A. 0B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案.
【详解】设，则，
因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即．
因为，
所以圆与圆相交，
所以点P的个数为2．
故选：C.
7. 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，
则，
，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为直线与平面没有公共点，所以平面，
则，即，，
所以，
即当时，此时,取得最小值，最小值为.
故选：A.
8. 已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.
【详解】因为，
则，
即点在直线上，点在直线上，
而的几何意义为点和点之间的距离的平方，
故的最小值为两平行线和间距离的平方，
所以最小值为.
故选：A.
二､多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量结合向量垂直计算可判断D的正误，即可得答案.
【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误；
选项B：若为空间的一个基底，则不共面，
假设共面，则，
此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立，
即不共面，则可构成空间另一个基底，故B正确；
选项C： 当时，，
此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误；
选项D：因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，
若，所以斜率，，故D正确；
故选：BD
10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线被圆截得的弦长为4时，
D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线的斜率，即可得到选项D正确.
【详解】直线，即，直线恒过定点，故A正确；
由，可知在圆内部，故直线与圆相交，故B正确；
如图，直线与圆相交于两点，连接，则，
过点作于点，则，所以，
即点到直线的距离，由得或，故C错误；
由图知，直线于垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因，
此时，，所以直线的方程为，
整理得，故D正确.
故选：ABD
11. 空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（ ）
A. 经过点的平面的方程为
B. 方程为平面与平面垂直
C. 若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为
D. l与方程为的平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于,验证法排除；对于，利用两平面法向量垂直即可判定；对于，利用空间向量点面距计算公式进行计算即可；对于，利用空间向量线面角计算公式进行计算即可.
【详解】对于,把点代入平面方程，不满足，故错误；
对于,平面其法向量为，
平面的法向量为，
则，
即，故面与平面垂直，
则正确；
对于,平面的一个法向量为,显然不全为0，不妨令，
点为平面内一点，则,
故点O到平面的距离为,
故正确；
对于,，
可知一组解，另一组解为，
为平面的交线，则经过上述两个点，
则直线的一个方向向量为,
又平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则，
故正确，
故选：
三､填空题（每小题5分，共15分）
12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】在空间直角坐标系中，点到轴的距离等于该点坐标与坐标的平方和的平方根
【详解】已知，所以点到轴的距离为；
故答案为：.
13. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线方程为_____________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据反射光线的性质，设出反射光线所在直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求直线斜率即可得解．
【详解】点关于轴的对称点，
根据光线的反射定律，反射后光线所在直线经过点，
因为反射光线与圆相切，
易知切线斜率存在，设反射光线所在直线方程为，
所以圆心到直线的距离，解得或，
所以反射光线所在直线方程为或
化简可得：或，
故答案为：或．
14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.

【答案】
【解析】
【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果.
【详解】由题知，设，则，
又，且
，
因为，，，四点共面，所以，
即，
又因为，则，即，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得，
故，所以，所以.
故答案为：
四､解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知两直线.
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解；
（2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线，
联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为，
因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为，
将点代入方程，可得，
所以所求直线方程为.
【小问2详解】
解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为，
令，可得；令，可得，
令，即，解得或，
得所求直线方程为或.
16. 如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得和，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为为直三棱柱，所以，
又因为和分别为和的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
因为为直三棱柱，且，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，则，
可得，
设平面的法向量为， ，
取，则，所以，
又因为向量，所以点D到平面A1FC1的距离，
因为，分别为，的中点，可得直线平面，
所以直线与平面的距离即为点D到平面的距离，
故直线与平面的距离为.

17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解.
【小问1详解】
解：设圆坐标为，
因为圆经过，两点，且圆心在直线上，
可得，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：因为，所以点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
即，又由圆，
两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为.
18. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM.
（1）求证：；
（2）（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为.
（ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证.
（2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积.
【小问1详解】
在长方形中，，M为DC的中点，则，
平面平面，平面平面，且，
由，得，则平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
（i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
由点E是线段上的一动点，设，
则，
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，取，得，
由二面角的余弦值为，得，
解得，点E是线段靠近D1的三等分点，
所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为.
（ii）由（i）知，，则点，线段的中点，
由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心
在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O，
由，得，解得，
因此三棱锥外接球半径，
所以三棱锥外接球的体积为.
19. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆.
（1）求圆C的方程；
（2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可.
（2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可.
（3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可.
【小问1详解】
如图所示，设，
因为是中点，所以，即，
因为B在圆上运动，所以，
即，整理得圆C方程为.
【小问2详解】
设，因为，所以，
化简得，所以
当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意.
当时，点P在以为圆心，为半径的圆上，
依题意圆D与圆C有公共点，又，
所以，解得.
所以的取值范围为.
【小问3详解】
设直线l的方程为，，，
由得，
所以，
且
由，得，
所以，
所以，所以直线l的方程为，当时，恒有，
即直线l过定点.