2025-2026学年四川省成都市石室中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市石室中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=2,3,1，b=−4,2,x，且a⊥b，则a→+b→=( )
A. 38B. 37C. 6D. 35
2.m∈−2,1是方程x22+m+y21−m=1表示椭圆的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.定义：设e1,e2,e3是空间中的一个基底，若向量p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x,y,z)为向量p在基底e1,e2,e3下的斜坐标．已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,b+c,c+a是空间的另一个基底，若向量p在基底a+b,b+c,c+a下的斜坐标为(−3,1,4)，则向量p在基底a,b,c下的斜坐标为( )
A. (1,−4,3)B. (−1,4,−3)C. (−1,2,−5)D. (1,−2,5)
4.在四面体D−ABC中，点G是▵ABC的重心，设DA=a，DB=b，DC=c，则DG=( )
A. 13a+23b+23cB. 13a+13b+13c
C. 23a+23b+23cD. 23a+23b+13c
5.如图，已知圆锥CO的轴截面CAB是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在AB⌢上，且∠AOD=2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A. 34B. 12C. 14D. 34
6.如图所示，用一个与圆柱底面成π6的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为 3，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的长轴长等于2
B. 椭圆的离心率为14
C. 椭圆的标准方程可以是x24+y2=1
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3
7.已知A−1,0，B0,2，直线l:2x−2ay+3+a=0上存在点P，满足|PA|+|PB|= 5，则a的取值范围是( )
A. −∞,−1B. −1,1
C. 1,+∞D. −∞,−1∪1,+∞
8.圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设F1，F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，从焦点F1发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点(非长轴上顶点)反射后回到焦点F2；过点F1作∠F1AF2的外角的角平分线的垂线l，l交直线F2A于点M，则下列说法正确的是( )
A. ▵ABF1面积的最大值为6B. 1AF1+3AF2的最小值为4+2 3
C. M的轨迹方程为(x−1)2+y2=16D. AF1+|AM|的最小值为8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.元素A1,5，B4,2，C−2,2∈M=x,y|x2+y2+Dx+Ey+F=0，N=x,y|ax+y+a+1=0，其中D,E,F,a∈R则下列说法正确的是( )
A. M∩N中元素个数不定
B. N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为x+y+2=0或y=x
C. P=x,y|(x−1)2+(y+1)2=5，点G,H∈M∩P，则直线GH：y=−16
D. M∩N中有两个元素，分别记为Sx1,y1，Tx2,y2，线段ST中点的轨迹长度为 13π
10.已知复数z在复平面上对应的点为M，且z满足|z+1|+|z−1|=4，则( )
A. |z|≤2
B. M的轨迹是以(−1,0)，1,0为焦点，长轴长为4的椭圆
C. M到直线x+y−3=0的距离的最大值为3+ 7
D. 一组斜率为−2的平行线和椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点都在直线y=38x上
11.已知球O是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球，M是AA1的中点，N是CC1的中点，P是球O的球面上任意一点，正方体表面上动点Q满足|DQ|=2 213，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥P−MBC的体积的最大值为1+ 5
B. Q的轨迹长度为2 33π
C. 若MP⊥CD1，则动点P的轨迹长度为 2π
D. 若|PM|+|PN|=3，则∠MPN为定角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A∪B)=0.5，则PAB= ．
13.已知圆C:x2+(y−1)2=3，椭圆E:y216+x28=1，点M，N分别在圆C和椭圆E上，则线段MN长度的最小值为 ．
14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，CD=AD= 2AB=2，PA=3，若动点Q在▵PAD内及边上运动，使得∠CQD=∠BQA，则三棱锥Q−ABC的体积最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
DeepSeek是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB=3.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；
(2)求平面BCC1与平面A1BC1所成夹角的余弦值．
条件①：BC=5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C
17.(本小题15分)
如图，已知圆A:(x+1)2+y2=16，点B1,0，P为圆A上的动点，线段BP的垂直平分线与线段AP相交于点M

(1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为4 3，求直线m的方程；
(2)求动点M的轨迹方程；
(3)设(2)中曲线为C，直线l：x−y+1=0与曲线C交于E，F两点，求▵BEF的面积．
18.(本小题17分)
在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，AB,AD=90°，AB,AA1=60°，AD,AA1=45°．
(1)以AB,AD,AA1为空间的一个基底，求平面ADD1A1的一个法向量；
(2)求点B1到平面ADD1A1的距离；
(3)动点P满足AP=x0AB+y0AD，且0≤x0≤1，0≤y0≤1，当x0=y0时，求直线DP与平面ADD1A1所成角的取值范围；
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 22，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切．
(1)求C的方程；
(2)若经过点F1且倾斜角为π6的直线n与椭圆C交于M，N两点(其中点M在x轴上方)如图①.将平面xOy沿x轴折叠，使M点折至M′的位置，且y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面M′F1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面NF1F2)互相垂直，如图②.求折叠前▵MNF2的周长与折叠后▵M′NF2的周长之差的绝对值；
(3)直线l:y=k(x−1)(k≥0)与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且PQ平分∠APB，设直线OP的斜率为k′(O为坐标原点)，判断k⋅k′是否为定值？并说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.A
6.D
7.D
8.C
9.ABC
10.ABD
11.BCD
12.0.1
13. 7− 3/− 3+ 7
14.2 23
15.【详解】(1)因为0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，所以a=0.72．
平均值：0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73．

(2)抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为a,b,c,d，“铂金用户”选2名，记为A,B，
样本空间Ω={ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB}，
设事件A=“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则A=aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB．
因为抽中样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
所以P(A)=815．

16.【详解】(1)选①②：由AC=4，AB=3，BC=5，易知：AB⊥AC，
又AB⊥AA1，AC∩AA1=A，AC,AA1⊂面AA1C1C，则AB⊥面AA1C1C；
选①③：由AC=4，AB=3，BC=5，易知：AB⊥AC．
又面ABC⊥面AA1C1C，面ABC∩面AA1C1C=AC，AB⊂面ABC，
∴AB⊥平面AA1C1C．
选②③：若平面ABC⊥平面AA1C1C，两平面的交线为AC，且在正方形AA1C1C中，
AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，故AB⊥AA1，
所以②③为重复条件，故不符合题意．
(2)由(1)知：AB⊥AC，AB⊥AA1，又四边形AA1C1C是正方形，则AC⊥AA1，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,0,4)，A1(0,4,0)，C1(0,4,4)，
∴A1B=(3,−4,0)，A1C1=(0,0,4)，BC=(−3,0,4)，BC1=(−3,4,4)，
设面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅A1B=0n⋅A1C1=0，即3x−4y=04z=0
令y=3，则x=4，z=0，即n=(4,3,0)，
设面BCC1的一个法向量为m=(a,b,c)，则m⋅BC=0m⋅BC1=0，即−3a+4c=0−3a+4b+4c=0
令c=3，则a=4，b=0，即m=(4,0,3)，
设平面BCC1与平面A1BC1所成角为θ，则csθ=csm,n=m⋅nmn=165×5=1625，
所以平面BCC1与平面A1BC1所成夹角的余弦值为1625．

17.【详解】(1)∵圆A:(x+1)2+y2=16的圆心为A(−1,0)，半径r=4，
已知弦长为l=4 3，设圆心到直线的距离为d，
则d= r2−l22= 16−4 322=2，而直线m过点B(1,0)，
当直线斜率不存在时，直线为x=1，圆心到直线距离d=1−(−1)=2，
弦长l=2 r2−d2=2 16−4=4 3，符合题意；
当直线斜率存在时，设斜率为k，则方程为y=k(x−1)，即kx−y−k=0，
圆心到直线距离d=|−k−0−k| k2+1=|−2k| k2+1=2，化简得|k|= k2+1，无解，
∴直线m的方程为x=1．
(2)由垂直平分线的性质可知，|MB|=|MP|，
∵|AP|=|AM|+|MP|=r=4，∴|AM|+|MB|=4，
∵A(−1,0),B(1,0)，∴|AB|=2，
由椭圆的定义可知，动点M是以2a=4为长轴，以|AB|=2c=2为焦距的椭圆，
即a2=4,c2=1,b2=a2−c2=3，
∴动点M的方程为：x24+y23=1．
(3)如图，作出符合题意的图形，

联立直线l与曲线方程x=y−1x24+y23=1，得7y2−6y−9=0，
设Ex1,y1,Fx2,y2，由韦达定理得y1+y2=67y1y2=−97,
∴|EF|= x1−x22+y1−y22= 2× y1+y22−4y1y2= 2× 672+9×47=247，
点B到直线l的距离为d=|1−0+1| 1+(−1)2= 2，
∴S▵BEF=12|EF|⋅d=12×247× 2=12 27．

18.【详解】(1)由题可知AB=AD=AA1=1，AB,AD=90°,AB,AA1=60°,AD,AA1=45°，
则AB⋅AD=0，AB⋅AA1=1×1×cs60°=12，AD⋅AA1=1×1×csπ4= 22，
设n=xAB+yAD+zAA1x,y,z∈R为平面ADD1A1的一个法向量，
由n→·AD⃗=0n→·AA1⃗=0，得到xAB+yAD+zAA1⋅AD=0xAB+yAD+zAA1⋅AA1=0，即y+ 22z=012x+ 22y+z=0,
取y=1，得到x= 2,z=− 2，所以n= 2AB+AD− 2AA1，
故平面ADD1A1的一个法向量为n= 2AB+AD− 2AA1．
(2)由(1)知平面ADD1A1的一个法向量n= 2AB+AD− 2AA1，
所以AB1⋅n=AB+AA1⋅ 2AB+AD− 2AA1= 2+0− 22+ 22+ 22− 2= 22，
又n= 2AB+AD− 2AA12
= 2AB2+AD2+2AA12+2 2AB⋅AD−4AB⋅AA1−2 2AD⋅AA1
= 2+1+2−4×12−2 2× 22=1，
所以点B1到平面ADD1A1的距离为d=AB1⋅nn= 221= 22．
(3)当x0=y0时，设AP=x0AB+y0AD=tAB+AD,0≤t≤1，
则DP=−AD+AP=tAB+(t−1)AD，
所以DP=−AD+AP= tAB+(t−1)AD2= t2+(t−1)2= 2t2−2t+1，
∴DP⋅n=tAB+(t−1)AD⋅ 2AB+AD− 2AA1= 2t− 22t+t−1− 2× 22(t−1)= 22t，
设直线DP与平面ADD1A1所成角为θ，
则sinθ=csDP,n=DP⋅nDPn= 22t 2t2−2t+1，
当t=0时，sinθ=0，θ=0；
当0