2024-2025学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都石室中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线x23−y22=1的渐近线方程是( )
A. y=±23xB. y=±32xC. y=± 62xD. y=± 63x
2.数列an是首项为1且公差不为0的等差数列，若a2a8=a3a5，则a20=( )
A. 20B. 39C. 41D. 58
3.已知(2x−1)kk∈N∗的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则x2项的系数为( )
A. 16B. −32C. 24D. −8
4.记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
5.在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这6位专家的不同发言顺序共有( )
A. 240种B. 280种C. 480种D. 720种
6.已知函数f(x)=kx2+sinπ2+x在0,π2上单调递减，则实数k的最大值为( )
A. 12πB. 1πC. 23πD. 2π
7.已知正四棱锥的侧棱长为3 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1B. 3C. 2D. 3
8.若∀x∈(1,+∞)，不等式ex+lna+lna+1≥ln(x−1)恒成立(其中e是自然对数的底数)，则实数a的最小值为( )
A. e−2B. e−1C. eD. e2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an满足a1+2a2+⋯+2n−1an=n⋅2n，数列an的前n项和为Sn，则( )
A. a5=6B. 数列an是等比数列
C. S4，S8，S12构成等差数列D. 数列1an⋅an+1前200项和为50101
10.若(1+x)2024=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，则( )
A. a0=0
B. a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024=41012−1
C. a0+12a1+122a2+⋯122024a2024=32024
D. a1+a3+a5⋯+a2023=22023
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)=f′(x)，g(x)不恒为零且f(x−2)为偶函数，则( )
A. g(x)为偶函数B. g(−2)=0
C. f(−x+2)=f(x−2)D. f(2024)+g(2026)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线y=lnx−1x在x=1处的切线与直线mx−y+5=0平行，则实数m的值为 ．
13.将5本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到1本书，且甲同学只得到1本书，则不同的分法总数为 ．
14.设数列an的前n项和为Sn，且Snn=1n−an，则数列2n(n+1)an的前n项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是首项为2且公差不为0的等差数列，a4为a2和a8的等比中项，记数列an的前n项和为Sn．
(1)求an和Sn；
(2)设bn=(−1)n−1⋅2Snann∈N∗，求数列bn的前2022项的和．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1BC⊥平面ABB1A1，D为A1C的中点，AA1=BC=2，A1B=2 2，A1C=2AD=2 3．
(1)证明：AA1⊥平面ABC；
(2)求平面ABD与平面ABA1的夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=3lnxx+1．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)≤12a(x+6)恒成立，且a∈Z，求a的最小值．
18.(本小题12分)
已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，直线l:mx−y+2=0与y轴相交于点P，与椭圆C相交于不同的A，B两点，▵PF1F2的面积为2 2，且椭圆C的短轴长与焦距相等．
(1)求椭圆C的方程和实数m的取值范围；
(2)若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点M，且▵MAB为直角三角形，求点M的坐标和直线l的方程．
19.(本小题12分)
已知曲线f(x)=a(x−1)e−x与直线y=1有且仅有两个不同的交点Ax1,y1，Bx2,y2，且a>0.(其中e是自然对数的底数)
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：x1+x20，f(x)单调递增；
当x∈e,+∞时，f′(x)0，则a≥3lnx+x12x2+3x，设ℎ(x)=3lnx+x12x2+3x，
则ℎ′(x)=3x+112x2+3x−(3lnx+x)(x+3)12x2+3x2=(x+3)3−12x−3lnx12x2+3x2，
设k(x)=3−12x−3lnx，则k′(x)=−12−3x0，k(2)=2−3ln2=lne2−ln80，函数ℎ(x)单调递增，
当x∈x0,+∞时，ℎ′(x)0，解得：m> 22或m< − 22，
则实数m的取值范围为：−∞,− 22∪ 22,+∞．
(2)设Ax1y1，Bx2,y2，设线段AB的中点为Q(x0,y0)，由(1)知：x1+x2=−8m1+2m2，x1x2=41+2m2，
则x0=−4m1+2m2，y0=−4m21+2m2+2=21+2m2，即Q−4m1+2m2,21+2m2．
设M(n,0)，由MQ⊥AB，则21+2m2−4m1+2m2−n=−1m，化简为2m2n+2m+n=0，①
因为▵MAB为直角三角形，又MA=MB，所以∠AMB=90∘，即MA⋅MB=0，
所以x1−nx2−n+y1y2=0，x1−nx2−n+mx1+2mx2+2=0，
整理为m2+1x1x2+(2m−n)x1+x2+n2+4=0，
则：m2+1⋅41+2m2+(2m−n)⋅−8m1+2m2+n2+4=0，
化简为n21+2m2−4m2+8mn+8=0②
由①得2m2+1n=−2m，即2m2+1n2=−2mn，代入②得−2mn−4m2+8mn+8=0，
整理得−2m2+3mn+4=0③，又由①得n=−2m2m2+1，代入③得：
−2m2+3m⋅−2m2m2+1+4=0，即−2m22m2+1+3m⋅(−2m)+42m2+1=0，
整理得m4=1，即m=±1，满足Δ>0．
当m=1时，n=−23，点M的坐标为−23,0，直线l的方程为：y=x+2；
当m=−1时，n=23，点M的坐标为23,0，直线l的方程为：y=−x+2．
19.(1)因为曲线f(x)=a(x−1)e−x与直线y=1有且仅有两个不同的交点，
所以关于x的方程a(x−1)e−x=1有且仅有两个不同的实数根，
即ex−a(x−1)=0有且仅有两个不同的实数根．
令g(x)=ex−a(x−1)，则g′(x)=ex−a，又a>0，由g′(x)=0得x=lna，
所以x∈−∞,lna时，g′(x)0，g(x)单调递增，
当x=lna时，g(x)取得极小值，也是最小值，要使g(x)有两个零点，
则glnalna时，g2lna=a2−2alna+a=aa−2lna+1，
设φ(a)=a−2lna+1，则φ′(a)=1−2a=a−2a>0，所以φ(a)在e2,+∞上单调递增，
则φ(a)>φe2=e2−3>0，所以g2lna=aa−2lna+1>0，
则g(x)在lna,2lna上有且只有一个零点，故g(x)有且仅有两个零点，
实数a的取值范围为：(e2+∞)．
(2)由(1)可知：x1，x2分别为函数g(x)的两个零点，不妨设1