2024-2025学年广东省中山市中山纪念中学高二上学期第二次段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省中山市中山纪念中学高二上学期第二次段考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(1,3,λ)，若a，b，c共面，则λ=( )
A. 4B. 2C. 3D. 1
2.若A(−2,−1)，B(1,1)两点到直线l:ax−y+1=0的距离相等，则a=( )
A. 23B. −23C. 2或23D. 2或−23
3.已知圆C1:x2+y2−2ax+2y+a2=0与圆C2:x2+y2+4x−6y−23=0的公切线有且只有一条，则实数a的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−5D. −1或5
4.双曲线8kx2−ky2=8的一个焦点坐标为(0,−3)，则实数k的值为( )
A. 1B. −1C. 653D. − 653
5.已知P是椭圆x24+y22=1上的动点，过P作y轴的垂线，垂足为A，若动点B满足PB=3PA，则动点B的轨迹方程为( )
A. x26+y22=1B. x216+y22=1C. x28+y22=1D. x212+y22=1
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若AF=4BF，则直线AB的斜率为( )
A. 2B. 2 33C. 23D. 43
7.已知F为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为圆x2+y2=b2上两个关于原点对称的点，若∠AFB≤π3恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. 0,2 55B. 0, 32C. 32,1D. 2 55,1
8.当θ变动时，动直线l:xcsθ+ysinθ−cs2θ2=0与定圆C相切，则圆C的面积为( )
A. π16B. 4πC. π4D. 2π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列给出的命题中正确的有( )
A. 若a,b,c是空间的一组基底，则a+b,b+c,c−a也是空间的一组基底
B. 点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且OP=13OA−xOB+yOC(x,y∈R)，则x−y=−23
C. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=−2,0,23，则直线l//α
D. 已知a=(1,1,0),b=(2,1,1)，则a在b上的投影向量为1,12,12
10.已知点P(x,y)是圆M:(x−2)2+y2=1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. yx的最小值为− 33
B. x2+y2+2x−6y的最小值为9−6 2
C. |x−y|的最大值为 2+1
D. 2x+y的最大值为4+ 5
11.加斯帕尔・蒙日是18−19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(如图所示).当椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)时，蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2.已知长方形G的四边均与椭圆M:x24+y23=1相切，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆M的离心率为12B. 若G为正方形，则G的边长为2 5
C. 椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7D. 长方形G的面积的最大值为14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA=AB=2，若OG//平面EFC，则AG= ．
13.过点P(0,2)作直线l，使它被两条相交直线2x−y−2=0和x+y+3=0所截得的线段，恰好被点P平分，则直线l的方程为 ．
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1与直线y=x−1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为−23，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60∘，AA1=4AB=4，点G为CB1的中点．

(1)用向量AB，AD，AA1表示AG；
(2)求线段AG的长及直线AG与BD1所成角的余弦值．
16.(本小题12分)
已知圆M经过A(1,−2),B(−2,1)两点，且圆心在直线x+y−2=0上．
(1)求圆M的方程；
(2)若P为直线l:4x+y+12=0上的动点，过点P作圆M的切线PE,PF，切点分别为E，F，当|PM|⋅|EF|最小时，求直线EF的方程．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：(x+1)2+y2=16，定点F(1,0)，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T．
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)已知点A(−2,0)，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=3交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．

(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC；
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值；
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率之积为14．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点M(4,0)的直线l：x=my+4，交C的左、右两支于D，E两点(异于A，B).
①求m的取值范围；
②若S▵DOE=12 2，其中O为坐标原点，求直线l的方程．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.D
7.C
8.C
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.23
13.2x−3y+6=0
14. 142
15.【详解】(1)由题意知AG=AB+BC+CG=AB+AD+12CB1=AB+AD+12BB1−BC
=AB+AD+12AA1−AD=AB+12AD+12AA1．
(2)因为四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60∘，AA1=4AB=4，
所以AB⋅AD=0，AB⋅AA1=1×4cs60∘=2，AD⋅AA1=1×4cs60∘=2，
所以AG⃗= AB⃗+12AD⃗+12AA1⃗2= AB⃗2+14AD⃗2+14AA1⃗2+AB⃗⋅AD⃗+AB⃗⋅AA1⃗+12AD⃗⋅AA1⃗
= 12+14×12+14×42+2+12×2= 332，
即线段AG的长为 332．
因为BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
所以BD1⃗= AD⃗+AA1⃗−AB⃗2= AD⃗2+AA1⃗2+AB⃗2+2AD⃗⋅AA1⃗−2AD⃗⋅AB⃗−2AA1⃗⋅AB⃗
= 12+42+12+2×2−2×2=3 2，
又AG⃗⋅BD1⃗=AB⃗+12AD⃗+12AA1⃗⋅AD⃗+AA1⃗−AB⃗=12AD⃗2+12AA1⃗2−AB⃗2+12AD⃗⋅AB⃗+12AB⃗⋅AA1⃗
+AD⋅AA1=12×12+12×42−12+12×2+2=212，
所以csAG,BD1=AG⋅BD1AG⋅BD1=2123 2× 332=7 6666，
即直线AG与BD1所成角的余弦值为7 6666．

16.【详解】(1)设圆M的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
由已知得(1−a)2+(−2−b)2=r2,(−2−a)2+(1−b)2=r2a+b−2=0,，解得a=1,b=1,r=3,
所以圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=9．
(2)由(1)知圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=9，圆心为M(1,1)，半径r=3．
因为S四边形PEMF=12|PM|⋅|EF|=2S▵PEM=|PE|⋅|EM|=3|PE|=3 |PM|2−9，
所以要使|PM|⋅|EF|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直，
由直线l:4x+y+12=0，可得直线PM的斜率为14，
直线PM的方程为y−1=14(x−1)，即x−4y+3=0，
由x−4y+3=0,4x+y+12=0,解得x=−3,y=0,即P(−3,0)，
则以PM为直径的圆的方程为(x+1)2+y−122=174．
由(x−1)2+(y−1)2=9,(x+1)2+y−122=174,两式相减可得直线EF的方程为4x+y+4=0．

17.【详解】(1)由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则TB=TF，可得TC+TF=TC+TB=CB=4>2=CF．
由椭圆定义可得，点T的轨迹是以C(−1,0)，F(1,0)为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为2a=4，焦距为2c=2，b2=4−1=3，
所以点T的轨迹W的方程为x24+y23=1
(2)

由(1)知A(−2,0)，F(1,0)，设直线PQ:x=my+1，Px1,y1，Qx2,y2，
联立x=my+1x24+y23=1消去x，整理得3m2+4y2+6my−9=0，则
y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4
根据题意可设M3,yM，N3,yN，则由yM3+2=y1x1+2，
可得yM=5y1x1+2=5y1my1+3，同理可得yN=5y2my2+3，
所以直线FM与直线FN的斜率之积，
kFMkFN=yM−03−1⋅yN−03−1=14⋅25y1y2my1+3my2+3=14⋅25y1y2m2y1y2+3my1+y2+9
=14⋅25−93m2+4m2−93m2+4+3m−6m3m2+4+9=14⋅−25×9−9m2−18m2+27m2+36=−25×94×36=−2516．
所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值−2516．

18.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB⊥AD，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，E1,12,0，D(0,1,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，
所以DE=1,−12,0，AC=(1,2,0)，AP=(0,0,2)，
所以DE⋅AP=0，DE⋅AC=1−1=0，
所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，
所以DE⊥平面PAC，
所以平面DEQ⊥平面PAC．
(2)由(1)知DE=1,−12,0是平面PAC的一个法向量，PD=(0,1,−2)，PC=(1,2,−2)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以PD⋅n=0PC⋅n=0，即y−2z=0x+2y−2z=0,
令z=−1，则x=2，y=−2，所以n=(2,−2,−1)，
所以csDE,n=DE⋅nDE×n=2+1 54× 9=2 55，
又由图可知二面角A−PC−D的平面角为锐角，
所以二面角A−PC−D的平面角的余弦值为2 55．
(3)由(1)得C(1,2,0)，P(0,0,2)，E1,12,0，CP=(−1,−2,2)，
设CQCP=λ(00，解得m< −2或m>2．
(ii)由图易知S▵MOD=12|OM|y1，S▵MOE=12|OM|y2，
则S▵DOE=S▵MOD−S▵MOE=12|OM|y1−y2=12×4 y1+y22−4y1y2
=2 −8mm2−42−4×12m2−4=2 16m2+192m2−42=8 m2+12m2−4，
所以8 m2+12m2−4=12 2，解得m2=6或m2=209，
由(i)知m2=6，得m=± 6，直线l的方程为x=± 6y+4，
即x+ 6y−4=0或x− 6y−4=0．